数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 21 解説

方針・初手

$z$ が単位円上にあるので、$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおけば $1/z^3$ は $z^{-3}$ として扱える。まず $w$ を $\theta$ で表し、その実部・虚部を媒介変数表示として曲線 $K$ の方程式を求める。

解法1

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくと、$z=e^{i\theta}$ であるから、

$$ \frac{1}{z^3}=e^{-3i\theta}=\cos3\theta-i\sin3\theta $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} w &=\frac12\left(3e^{i\theta}+e^{-3i\theta}\right)\\ &=\frac12{3(\cos\theta+i\sin\theta)+(\cos3\theta-i\sin3\theta)}\\ &=\frac12(3\cos\theta+\cos3\theta) +\frac{i}{2}(3\sin\theta-\sin3\theta) \end{aligned} $$

となる。

ここで、三倍角の公式

$$ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\qquad \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \operatorname{Re} w &=\frac12(3\cos\theta+4\cos^3\theta-3\cos\theta) =2\cos^3\theta,\\ \operatorname{Im} w &=\frac12{3\sin\theta-(3\sin\theta-4\sin^3\theta)} =2\sin^3\theta \end{aligned} $$

である。よって、

$$ w=2\cos^3\theta+2i\sin^3\theta $$

となる。

次に、$0\leqq\theta\leqq\pi/2$ のとき、$w=x+yi$ とおくと、

$$ x=2\cos^3\theta,\qquad y=2\sin^3\theta $$

である。この範囲では $\cos\theta\geqq0,\ \sin\theta\geqq0$ なので、$x\geqq0,\ y\geqq0$ である。

両辺を整理すると、

$$ \left(\frac{x}{2}\right)^{2/3}=\cos^2\theta,\qquad \left(\frac{y}{2}\right)^{2/3}=\sin^2\theta $$

であるから、

$$ \left(\frac{x}{2}\right)^{2/3}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2/3} =\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $$

となる。したがって、曲線 $K$ の方程式は

$$ x^{2/3}+y^{2/3}=2^{2/3} $$

である。ただし、$0\leqq\theta\leqq\pi/2$ に対応する部分なので、

$$ x\geqq0,\qquad y\geqq0 $$

を満たす部分である。

最後に、$|w|$ の最大値・最小値を求める。

$$ |w|^2=x^2+y^2 =4\cos^6\theta+4\sin^6\theta =4(\cos^6\theta+\sin^6\theta) $$

である。ここで、

$$ \cos^6\theta+\sin^6\theta =(\cos^2\theta+\sin^2\theta)^3 -3\cos^2\theta\sin^2\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta) $$

より、

$$ \cos^6\theta+\sin^6\theta =1-3\cos^2\theta\sin^2\theta $$

である。したがって、

$$ |w|^2=4(1-3\cos^2\theta\sin^2\theta) $$

となる。

また、

$$ \cos^2\theta\sin^2\theta =\frac14\sin^2 2\theta $$

であるから、

$$ |w|^2=4-3\sin^2 2\theta $$

である。

$0\leqq\theta\leqq\pi/2$ では、$0\leqq 2\theta\leqq\pi$ であるから、

$$ 0\leqq\sin^2 2\theta\leqq1 $$

である。よって、$|w|^2=4-3\sin^2 2\theta$ は、$\sin^2 2\theta$ が最小のとき最大、最大のとき最小となる。

最大値は $\sin^2 2\theta=0$ のときである。この範囲では、

$$ 2\theta=0,\ \pi $$

より、

$$ \theta=0,\ \frac{\pi}{2} $$

である。このとき、

$$ |w|^2=4 $$

なので、

$$ |w|=2 $$

である。対応する $z$ は、

$$ z=e^{i\theta}=1,\ i $$

である。

最小値は $\sin^2 2\theta=1$ のときである。この範囲では、

$$ 2\theta=\frac{\pi}{2} $$

より、

$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$

である。このとき、

$$ |w|^2=1 $$

なので、

$$ |w|=1 $$

である。対応する $z$ は、

$$ z=e^{i\pi/4}=\frac{1+i}{\sqrt2} $$

である。

解説

この問題では、$z$ が単位円上にあることから $z=e^{i\theta}$ とおくのが最短である。特に $1/z^3=e^{-3i\theta}$ とできるため、$w$ の実部・虚部が三角関数で直接表せる。

曲線 $K$ は

$$ x=2\cos^3\theta,\qquad y=2\sin^3\theta $$

という媒介変数表示から得られる。$0\leqq\theta\leqq\pi/2$ なので、$x,y$ はともに非負であり、方程式だけでなく定義域として $x\geqq0,\ y\geqq0$ を添える必要がある。

$|w|$ の最大・最小は、曲線の方程式からではなく、媒介変数 $\theta$ を用いて

$$ |w|^2=4-3\sin^2 2\theta $$

とするのが簡潔である。最大・最小を与える $z$ まで求める必要があるため、最後に対応する $\theta$ を $z=e^{i\theta}$ に戻す。

答え

(1)

$$ w=2\cos^3\theta+2i\sin^3\theta $$

(2)

$$ x^{2/3}+y^{2/3}=2^{2/3} $$

ただし、

$$ x\geqq0,\qquad y\geqq0 $$

(3)

$$ |w|_{\max}=2 $$

このとき、

$$ z=1,\ i $$

である。

また、

$$ |w|_{\min}=1 $$

このとき、

$$ z=\frac{1+i}{\sqrt2} $$

である。