数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 22 解説

方針・初手

与式 $z+w=zw$ から、$z$ を $w$ で表し、$z$ が円周上にある条件へ代入する。

この変換により、$w$ の満たす条件は

$$ |w-3|=2r|w-1| $$

という形になり、これは $2r$ の値によって円または直線を表す。

解法1

与式

$$ z+w=zw $$

を $z$ について整理すると、

$$ z(w-1)=w $$

である。ここで $w=1$ とすると $z+1=z$ となり矛盾するから、$w\neq 1$ である。したがって

$$ z=\frac{w}{w-1} $$

と表せる。

点 $z$ は中心 $\dfrac{3}{2}$、半径 $r$ の円周上を動くので、

$$ \left|z-\frac{3}{2}\right|=r $$

を満たす。ここに $z=\dfrac{w}{w-1}$ を代入すると、

$$ \left|\frac{w}{w-1}-\frac{3}{2}\right|=r $$

である。左辺を整理すると、

$$ \left|\frac{2w-3(w-1)}{2(w-1)}\right|=r $$

すなわち

$$ \left|\frac{3-w}{2(w-1)}\right|=r $$

である。よって

$$ |w-3|=2r|w-1| $$

を得る。

ここで $w=x+yi$ とおくと、

$$ (x-3)^2+y^2=4r^2{(x-1)^2+y^2} $$

である。

(i)

$r\neq \dfrac{1}{2}$ のとき

両辺を展開して整理すると、

$$ (1-4r^2)(x^2+y^2)+(-6+8r^2)x+9-4r^2=0 $$

である。$1-4r^2\neq 0$ だから、両辺を $1-4r^2$ で割って平方完成すると、

$$ \left(x-\frac{3-4r^2}{1-4r^2}\right)^2+y^2 = \left(\frac{4r}{1-4r^2}\right)^2 $$

となる。

したがって、$w$ が描く図形は、中心

$$ \frac{3-4r^2}{1-4r^2} $$

半径

$$ \frac{4r}{|1-4r^2|} $$

の円である。

(ii)

$r=\dfrac{1}{2}$ のとき

条件 $|w-3|=2r|w-1|$ は

$$ |w-3|=|w-1| $$

となる。これは点 $1$ と点 $3$ から等距離にある点の集合であるから、線分 $1,3$ の垂直二等分線である。

座標で確認すると、

$$ (x-3)^2+y^2=(x-1)^2+y^2 $$

より、

$$ x=2 $$

である。

したがって、この場合の図形は直線

$$ \operatorname{Re} w=2 $$

である。

なお、$w=1$ はもとの方程式を満たさないが、得られた円または直線上にも存在しないので、追加で除外する点はない。

解説

本問の核心は、$z+w=zw$ を

$$ z=\frac{w}{w-1} $$

と変形し、$z$ の円周条件を $w$ の条件へ移すことである。

得られる

$$ |w-3|=2r|w-1| $$

は、点 $3$ と点 $1$ からの距離の比が一定である点の軌跡である。距離の比が $1$ でないときはアポロニウスの円、比が $1$ のときは垂直二等分線になる。

ここでは距離の比が $2r$ なので、$2r=1$、すなわち $r=\dfrac{1}{2}$ の場合だけ直線になり、それ以外は円になる。

答え

$r\neq \dfrac{1}{2}$ のとき、$w$ が描く図形は

$$ \left(x-\frac{3-4r^2}{1-4r^2}\right)^2+y^2 = \left(\frac{4r}{1-4r^2}\right)^2 \quad (w=x+yi) $$

すなわち、中心

$$ \frac{3-4r^2}{1-4r^2} $$

半径

$$ \frac{4r}{|1-4r^2|} $$

の円である。

$r=\dfrac{1}{2}$ のとき、$w$ が描く図形は

$$ \operatorname{Re} w=2 $$

である。