数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 23 解説

方針・初手

絶対値の等式は、両辺を2乗して $z=x+yi$ とおくと、$x,y$ の2次方程式になる。2次の係数が $0$ でなければ円、$0$ なら直線になるので、まず標準形まで整理する。

解法1

$z=x+yi$ とおく。ただし $x,y$ は実数である。

左辺は

$$ |3z+it|^2=|3x+i(3y+t)|^2=9x^2+(3y+t)^2 $$

である。

また、

$$ (t+2i)z-1=(tx-2y-1)+i(ty+2x) $$

より、

$$ |(t+2i)z-1|^2=(tx-2y-1)^2+(ty+2x)^2 $$

である。これを整理すると、

$$ |(t+2i)z-1|^2=(t^2+4)(x^2+y^2)-2tx+4y+1 $$

となる。

したがって、与えられた方程式は

$$ 9x^2+9y^2+6ty+t^2=(t^2+4)(x^2+y^2)-2tx+4y+1 $$

である。移項して整理すると、

$$ (5-t^2)(x^2+y^2)+2tx+(6t-4)y+t^2-1=0 $$

を得る。

ここで、$x^2+y^2$ の係数が $0$ であるとき、すなわち

$$ 5-t^2=0 $$

のとき、この図形は円ではなく直線になる。よって

$$ t^2=5 $$

である。

次に、$t^2\neq 5$ のとき中心を求める。一般に

$$ A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0 $$

の中心は

$$ \left(-\frac{B}{2A},-\frac{C}{2A}\right) $$

である。

今回、

$$ A=5-t^2,\quad B=2t,\quad C=6t-4 $$

だから、中心を表す複素数 $w$ は

$$ w=-\frac{t}{5-t^2}-\frac{6t-4}{2(5-t^2)}i $$

である。これを分母を $t^2-5$ にそろえて書くと、

$$ w=\frac{t}{t^2-5}+\frac{3t-2}{t^2-5}i $$

となる。

したがって

$$ \operatorname{Im} w=\frac{3t-2}{t^2-5} $$

である。$C_t$ が円である範囲では $t^2\neq 5$ だから、$\operatorname{Im} w=0$ となるのは

$$ 3t-2=0 $$

すなわち

$$ t=\frac{2}{3} $$

のときである。

このとき

$$ \operatorname{Re} w=\frac{t}{t^2-5} $$

より、

$$ \begin{aligned} \operatorname{Re} w &= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}-5}\\ &= \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{41}{9}} \end{aligned} -\frac{6}{41} $$

である。

次に、$w$ の偏角を $\theta$ とする。$t\to\infty$ では $t^2-5>0$ であり、

$$ \operatorname{Re} w=\frac{t}{t^2-5},\quad \operatorname{Im} w=\frac{3t-2}{t^2-5} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \tan\theta &= \frac{\operatorname{Im} w}{\operatorname{Re} w}\\ &= \frac{3t-2}{t}\\ &= 3-\frac{2}{t} \end{aligned} $$

である。よって

$$ \lim_{t\to\infty}\tan\theta=3 $$

である。

最後に、

$$ |w| = \frac{\sqrt{t^2+(3t-2)^2}}{|t^2-5|} $$

である。$t\to\infty$ では $t^2-5>0$ だから、

$$ t|w| = \frac{t\sqrt{t^2+(3t-2)^2}}{t^2-5} $$

となる。分子の平方根の中を整理すると、

$$ t^2+(3t-2)^2=10t^2-12t+4 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} t|w| &= \frac{t\sqrt{10t^2-12t+4}}{t^2-5}\\ &= \frac{t^2\sqrt{10-\frac{12}{t}+\frac{4}{t^2}}}{t^2\left(1-\frac{5}{t^2}\right)} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \lim_{t\to\infty}t|w|=\sqrt{10} $$

である。

解説

この問題の中心は、複素数の絶対値方程式を $x,y$ の方程式に直すことである。

特に、円になるかどうかは、整理後の $x^2+y^2$ の係数を見るだけで判定できる。係数が $0$ になると2次曲線ではなく直線になるため、そこが「円でない」場合である。

また、中心を求めた後は、偏角そのものを直接求める必要はない。偏角 $\theta$ については

$$ \tan\theta=\frac{\operatorname{Im} w}{\operatorname{Re} w} $$

を用いればよい。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=5} $$

$$ \boxed{\text{キ}=\frac{2}{3}} $$

$$ \boxed{\text{ク}=-\frac{6}{41}} $$

$$ \boxed{\text{ケ}=3} $$

$$ \boxed{\text{コ}=\sqrt{10}} $$