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数学C ド・モアブルの定理問題 8 解説

方針・初手

$z$ は $1$ でない $7$ 乗根であるから、まず

$$ 1+z+z^2+\cdots+z^6=0 $$

を用いる。重心は対応する複素数の平均で表されるので、必要な和を整理すればよい。

解法1

$z=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}$ より、$z^7=1$ かつ $z\ne 1$ である。

したがって、等比数列の和から

$$ 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=\frac{z^7-1}{z-1}=0 $$

である。よって

$$ z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1 $$

となる。これが (1) の値である。

次に、$\triangle P_1P_2P_4$ の重心を表す複素数を $\alpha$ とすると、重心は頂点の平均であるから

$$ \alpha=\frac{z+z^2+z^4}{3} $$

である。同様に、$\triangle P_3P_5P_6$ の重心を表す複素数を $\beta$ とすると、

$$ \beta=\frac{z^3+z^5+z^6}{3} $$

である。

ここで

$$ S=z+z^2+z^4,\qquad T=z^3+z^5+z^6 $$

とおく。すると

$$ S+T=z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1 $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} ST &=(z+z^2+z^4)(z^3+z^5+z^6)\\ &=z^4+z^6+z^7+z^5+z^7+z^8+z^7+z^9+z^{10}. \end{aligned} $$

$z^7=1$ を用いて指数を $7$ で割った余りで整理すると、

$$ \begin{aligned} ST &=z^4+z^6+1+z^5+1+z+1+z^2+z^3\\ &=3+(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)\\ &=3-1\\ &=2. \end{aligned} $$

したがって、$S,T$ は

$$ X^2-(S+T)X+ST=0 $$

すなわち

$$ X^2+X+2=0 $$

の2つの解である。よって

$$ X=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2} $$

である。

ここで

$$ S=z+z^2+z^4 $$

の虚部は

$$ \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7} = \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7} $$

であり、これは正である。したがって

$$ S=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2},\qquad T=\frac{-1-i\sqrt{7}}{2} $$

である。

よって

$$ \alpha=\frac{S}{3}=\frac{-1+i\sqrt{7}}{6},\qquad \beta=\frac{T}{3}=\frac{-1-i\sqrt{7}}{6} $$

となる。

最後に、$P_0$ は複素数 $1$ を表す点なので、

$$ P_0=(1,0) $$

である。また

$$ Q=\left(-\frac{1}{6},\frac{\sqrt{7}}{6}\right),\qquad R=\left(-\frac{1}{6},-\frac{\sqrt{7}}{6}\right) $$

である。

したがって、$QR$ は直線 $x=-\frac{1}{6}$ 上の縦の線分であり、その長さは

$$ QR=\frac{\sqrt{7}}{6}-\left(-\frac{\sqrt{7}}{6}\right)=\frac{\sqrt{7}}{3} $$

である。

また、点 $P_0=(1,0)$ から直線 $QR$、すなわち $x=-\frac{1}{6}$ までの距離は

$$ 1-\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{7}{6} $$

である。

よって、$\triangle P_0QR$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}\cdot \frac{7}{6} = \frac{7\sqrt{7}}{36} $$

である。

解説

この問題の中心は、$z$ が $1$ でない $7$ 乗根であることから

$$ 1+z+z^2+\cdots+z^6=0 $$

を使う点にある。

また、重心を求める場面では、複素数平面上の点の重心が対応する複素数の平均で表されることを使う。$\alpha,\beta$ をそのまま三角関数で計算しようとすると煩雑になるが、$S=z+z^2+z^4$ と $T=z^3+z^5+z^6$ に分けて、$S+T$ と $ST$ を求めると簡潔に処理できる。

面積計算では、$\alpha$ と $\beta$ が共役複素数になっているため、$Q,R$ は同じ実部をもつ点である。したがって $QR$ を底辺にすると、高さがすぐに求まる。