数学C ド・モアブルの定理 問題 9 解説

方針・初手

$\alpha$ は $1$ ではない $3$ 乗根であることに注目する。すなわち、

$$ \alpha^3=1,\qquad 1+\alpha+\alpha^2=0 $$

が成り立つ。したがって、$3$ 個ずつの組に分けると和が簡単になる。

解法1

$\alpha$ は

$$ \alpha=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $$

であるから、

$$ \alpha^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\qquad \alpha^3=1 $$

である。また、$\alpha\neq 1$ より

$$ 1+\alpha+\alpha^2=0 $$

が成り立つ。

まず $S_{3m}$ を求める。

$$ S_{3m}=\sum_{k=1}^{3m}\alpha^{k-1} $$

である。指数を $0,1,2$ の周期でまとめると、

$$ S_{3m} =(1+\alpha+\alpha^2)+(1+\alpha+\alpha^2)+\cdots +(1+\alpha+\alpha^2) $$

となり、これが $m$ 組ある。したがって、

$$ S_{3m}=m(1+\alpha+\alpha^2)=0 $$

である。

次に $T_{3m}$ を求める。

$$ T_{3m}=\sum_{k=1}^{3m}k\alpha^{k-1} $$

である。$k=3j+1,3j+2,3j+3$ の $3$ 項ずつに分ける。ただし、$j=0,1,\dots,m-1$ とする。

このとき、

$$ \begin{aligned} T_{3m} &=\sum_{j=0}^{m-1}\left\{(3j+1)\alpha^{3j}+(3j+2)\alpha^{3j+1}+(3j+3)\alpha^{3j+2}\right\} \\ &=\sum_{j=0}^{m-1}\left\{(3j+1)+(3j+2)\alpha+(3j+3)\alpha^2\right\}. \end{aligned} $$

ここで $1+\alpha+\alpha^2=0$ を使うために整理すると、

$$ \begin{aligned} (3j+1)+(3j+2)\alpha+(3j+3)\alpha^2 &=(3j+1)(1+\alpha+\alpha^2)+\alpha+2\alpha^2 \\ &=\alpha+2\alpha^2. \end{aligned} $$

したがって、各組の和は $j$ によらず一定であるから、

$$ T_{3m}=m(\alpha+2\alpha^2) $$

となる。

さらに、

$$ \begin{aligned} \alpha+2\alpha^2 &=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+2\cdot \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ &=\frac{-3-\sqrt{3}i}{2} \end{aligned} $$

より、

$$ T_{3m}=-\frac{m}{2}(3+\sqrt{3}i) $$

である。

最後に $T_{2014}$ を求める。$2014=3\cdot 671+1$ であるから、

$$ T_{2014}=T_{2013}+2014\alpha^{2013} $$

である。ここで $\alpha^{2013}=(\alpha^3)^{671}=1$ だから、

$$ T_{2014}=T_{2013}+2014 $$

となる。

また、$2013=3\cdot 671$ より、先ほどの結果から

$$ T_{2013}=T_{3\cdot 671} =-\frac{671}{2}(3+\sqrt{3}i) $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} T_{2014} &=2014-\frac{671}{2}(3+\sqrt{3}i) \\ &=\frac{4028-2013}{2}-\frac{671\sqrt{3}}{2}i \\ &=\frac{2015-671\sqrt{3}i}{2}. \end{aligned} $$

解説

この問題の中心は、$\alpha$ が $1$ でない $3$ 乗根であることを見抜く点にある。

$S_{3m}$ は $1+\alpha+\alpha^2$ がそのまま $m$ 回出てくるので、すぐに $0$ になる。一方、$T_{3m}$ は係数 $k$ が付いているため、単純に $1+\alpha+\alpha^2$ だけでは消えない。そこで $3$ 項ずつまとめ、各組の和を計算するのが自然である。

$T_{2014}$ は $2014=3\cdot 671+1$ と分ければ、$T_{2013}$ に最後の $1$ 項を足すだけでよい。

答え

(1)

$$ S_{3m}=0 $$

(2)

$$ T_{3m}=-\frac{m}{2}(3+\sqrt{3}i) $$

(3)

$$ T_{2014}=\frac{2015-671\sqrt{3}i}{2} $$