数学C ド・モアブルの定理 問題 22 解説

方針・初手

$z=\sin\theta+i\cos\theta$ は通常の $\cos\theta+i\sin\theta$ と実部・虚部が入れ替わっているので、偏角を取り直して極形式に直すのが初手である。

解法1

$\sin\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$、$\cos\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$ より、

$$ z=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) $$

である。

したがって、ド・モアブルの定理より、整数 $n$ に対して

$$ z^n = \cos\left(n\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right) + i\sin\left(n\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right) $$

となる。すなわち

$$ z^n = \cos\left(\frac{n\pi}{2}-n\theta\right) + i\sin\left(\frac{n\pi}{2}-n\theta\right) $$

である。

ここで加法定理を用いると、

$$ \cos\left(\frac{n\pi}{2}-n\theta\right) = \cos\frac{n\pi}{2}\cos n\theta + \sin\frac{n\pi}{2}\sin n\theta $$

また、

$$ \begin{aligned} \sin\left(\frac{n\pi}{2}-n\theta\right) = \sin\frac{n\pi}{2}\cos n\theta \\ \cos\frac{n\pi}{2}\sin n\theta \end{aligned} $$

である。

よって、$z^n$ の実部と虚部はそれぞれ

$$ \operatorname{Re}(z^n) = \cos\frac{n\pi}{2}\cos n\theta + \sin\frac{n\pi}{2}\sin n\theta $$

$$ \begin{aligned} \operatorname{Im}(z^n) = \sin\frac{n\pi}{2}\cos n\theta \\ \cos\frac{n\pi}{2}\sin n\theta \end{aligned} $$

である。

さらに $n$ を $4$ で割った余りによって整理すると、次のようになる。

(i)

$n\equiv 0 \pmod 4$ のとき

$$ \operatorname{Re}(z^n)=\cos n\theta,\qquad \operatorname{Im}(z^n)=-\sin n\theta $$

(ii)

$n\equiv 1 \pmod 4$ のとき

$$ \operatorname{Re}(z^n)=\sin n\theta,\qquad \operatorname{Im}(z^n)=\cos n\theta $$

(iii)

$n\equiv 2 \pmod 4$ のとき

$$ \operatorname{Re}(z^n)=-\cos n\theta,\qquad \operatorname{Im}(z^n)=\sin n\theta $$

(iv)

$n\equiv 3 \pmod 4$ のとき

$$ \operatorname{Re}(z^n)=-\sin n\theta,\qquad \operatorname{Im}(z^n)=-\cos n\theta $$

解説

この問題では、$z=\sin\theta+i\cos\theta$ をそのまま扱うより、極形式に変形するのが本質である。

通常の極形式は $\cos\alpha+i\sin\alpha$ なので、

$$ \sin\theta+i\cos\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) $$

と見直せばよい。

その後はド・モアブルの定理を用い、最後に $\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ と $\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ の値を $n$ の $4$ で割った余りによって整理する。

答え

$$ \operatorname{Re}(z^n) = \cos\frac{n\pi}{2}\cos n\theta + \sin\frac{n\pi}{2}\sin n\theta $$

$$ \begin{aligned} \operatorname{Im}(z^n) = \sin\frac{n\pi}{2}\cos n\theta \\ \cos\frac{n\pi}{2}\sin n\theta \end{aligned} $$

また、$n$ の $4$ で割った余りによって表すと、

$$ \begin{array}{c|c|c} n \pmod 4 & \operatorname{Re}(z^n) & \operatorname{Im}(z^n) \\ \hline 0 & \cos n\theta & -\sin n\theta \\ 1 & \sin n\theta & \cos n\theta \\ 2 & -\cos n\theta & \sin n\theta \\ 3 & -\sin n\theta & -\cos n\theta \end{array} $$