数学C ド・モアブルの定理 問題 31 解説

方針・初手

点 $P_n$ を表す複素数を $z_n$ とおく。線分 $P_nP_{n+1}$ を表す複素数は $z_{n+1}-z_n$ である。

長さが $r$ 倍になり，向きが $60^\circ$ 回転するので，線分を表す複素数は毎回

$$ r\left(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ\right) $$

倍される。ここで

$$ \omega=\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $$

とおく。

解法1

$P_n$ を表す複素数を $z_n$ とする。条件より

$$ z_0=0,\qquad z_1=1 $$

であり，最初の線分は

$$ z_1-z_0=1 $$

である。

また，図の向きに $60^\circ$ 回転し，長さが $r$ 倍になるから，

$$ z_{n+2}-z_{n+1}=r\omega\left(z_{n+1}-z_n\right) $$

が成り立つ。

したがって，線分を表す複素数は

$$ z_{n+1}-z_n=(r\omega)^n $$

となる。

よって

$$ z_n =\sum_{k=0}^{n-1}(r\omega)^k $$

である。

まず $P_3$ を求める。

$$ z_3=1+r\omega+r^2\omega^2 $$

である。ここで

$$ \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\qquad \omega^2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $$

だから，

$$ \begin{aligned} z_3 &=1+r\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) +r^2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\ &=1+\frac{r-r^2}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}(r+r^2)i. \end{aligned} $$

したがって

$$ P_3=1+\frac{r-r^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(r+r^2)i $$

である。

次に $P_{6n}$ を求める。

$$ z_{6n}=\sum_{k=0}^{6n-1}(r\omega)^k $$

であり，等比数列の和より

$$ z_{6n} =\frac{1-(r\omega)^{6n}}{1-r\omega} $$

である。

ここで $\omega^6=1$ だから，

$$ (r\omega)^{6n}=r^{6n}\omega^{6n}=r^{6n} $$

となる。したがって

$$ z_{6n} =\frac{1-r^{6n}}{1-r\omega}. $$

分母を実部と虚部に分けると，

$$ 1-r\omega =1-r\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) =1-\frac{r}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}ri. $$

よって

$$ \begin{aligned} z_{6n} &=\frac{1-r^{6n}}{1-\frac{r}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}ri}\\ &=\frac{(1-r^{6n})\left(1-\frac{r}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}ri\right)} {\left(1-\frac{r}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r\right)^2}. \end{aligned} $$

分母は

$$ \left(1-\frac{r}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r\right)^2 =1-r+r^2 $$

である。

したがって

$$ z_{6n} = \frac{(1-r^{6n})\left(1-\frac{r}{2}\right)}{1-r+r^2} + \frac{\sqrt{3}r(1-r^{6n})}{2(1-r+r^2)}i. $$

よって，$P_{6n}$ を表す複素数を $a+bi$ とすると，

$$ a=\frac{(1-r^{6n})\left(1-\frac{r}{2}\right)}{1-r+r^2}, \qquad b=\frac{\sqrt{3}r(1-r^{6n})}{2(1-r+r^2)} $$

である。

解説

この問題では，各点の位置そのものではなく，隣り合う点を結ぶ線分を複素数として扱うのが自然である。

長さが $r$ 倍になり，向きが $60^\circ$ 回転するという条件は，複素数平面では

$$ r\left(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ\right) $$

を掛けることに対応する。したがって，線分を表す複素数が等比数列になる。

また，$60^\circ$ 回転を6回繰り返すと一周するため，$\omega^6=1$ が成り立つ。この性質により，$P_{6n}$ は簡潔に整理できる。

答え

(1)

$$ P_3=1+\frac{r-r^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(r+r^2)i $$

(2)

$$ a=\frac{(1-r^{6n})\left(1-\frac{r}{2}\right)}{1-r+r^2}, \qquad b=\frac{\sqrt{3}r(1-r^{6n})}{2(1-r+r^2)} $$