数学C 空間ベクトル 問題 22 解説

方針・初手

正四面体なので、$O$ から出る3本の辺の長さはすべて $1$ であり、三角形 $OAB, OBC, OCA$ は正三角形である。したがって、各ベクトルの大きさと相互の内積を用いて処理する。

まず $M,N$ の位置ベクトルを $\vec a,\vec b,\vec c$ で表し、次に垂線条件を内積で立式する。

解法1

$M$ は辺 $OA$ 上の点で、

$$ \frac{OM}{MA}=2 $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{2}{3}\vec a $$

である。

また、$N$ は辺 $BC$ 上の点で、

$$ \frac{BN}{NC}=2 $$

であるから、$N$ は $BC$ を $2:1$ に内分する。よって

$$ \overrightarrow{ON} =\frac{1}{3}\vec b+\frac{2}{3}\vec c $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{NM} =\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} =\frac{2}{3}\vec a-\frac{1}{3}\vec b-\frac{2}{3}\vec c $$

より、

$$ \overrightarrow{NM} =\frac{1}{3}(2\vec a-\vec b-2\vec c) $$

である。

次に、正四面体の各面は正三角形であるから、三角形 $OAB$ において

$$ |\vec a|=|\vec b|=1,\qquad \angle AOB=60^\circ $$

である。よって

$$ \vec a\cdot \vec b =|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ =1\cdot 1\cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{2} $$

である。

最後に、$H$ を直線 $MN$ 上の点として、

$$ \frac{MH}{MN}=t $$

とおく。このとき

$$ \overrightarrow{OH} =\overrightarrow{OM}+t\overrightarrow{MN} $$

である。

ここで

$$ \overrightarrow{MN} =-\overrightarrow{NM} =\frac{1}{3}(-2\vec a+\vec b+2\vec c) $$

である。

正四面体より

$$ |\vec a|^2=|\vec b|^2=|\vec c|^2=1 $$

かつ

$$ \vec a\cdot\vec b =\vec b\cdot\vec c =\vec c\cdot\vec a =\frac{1}{2} $$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{MN} &=\frac{2}{3}\vec a\cdot \frac{1}{3}(-2\vec a+\vec b+2\vec c)\\ &=\frac{2}{9}\left(-2\vec a\cdot\vec a+\vec a\cdot\vec b+2\vec a\cdot\vec c\right)\\ &=\frac{2}{9}\left(-2+\frac{1}{2}+1\right)\\ &=-\frac{1}{9} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{MN}|^2 &=\frac{1}{9}(-2\vec a+\vec b+2\vec c)\cdot(-2\vec a+\vec b+2\vec c)\\ &=\frac{1}{9}\left(4+1+4-4\vec a\cdot\vec b-8\vec a\cdot\vec c+4\vec b\cdot\vec c\right)\\ &=\frac{1}{9}\left(9-2-4+2\right)\\ &=\frac{5}{9} \end{aligned} $$

である。

$OH\perp MN$ より、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{MN}=0 $$

である。したがって

$$ (\overrightarrow{OM}+t\overrightarrow{MN})\cdot\overrightarrow{MN}=0 $$

より、

$$ \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MN} +t|\overrightarrow{MN}|^2=0 $$

となる。これに上で求めた値を代入すると、

$$ -\frac{1}{9}+t\cdot\frac{5}{9}=0 $$

であるから、

$$ t=\frac{1}{5} $$

である。

よって、

$$ \frac{MH}{MN}=\frac{1}{5} $$

である。

解説

点 $M,N$ がそれぞれ辺を内分する点なので、まず位置ベクトルで表すのが自然である。

正四面体では、$O$ から出る3本の辺ベクトル $\vec a,\vec b,\vec c$ について、長さはすべて $1$、相互のなす角はすべて $60^\circ$ である。したがって、内積はすべて $\frac{1}{2}$ になる。

垂線の足 $H$ を扱うときは、直線 $MN$ 上の点として

$$ \overrightarrow{OH} =\overrightarrow{OM}+t\overrightarrow{MN} $$

とおくのが基本である。垂直条件は

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{MN}=0 $$

で表せるため、距離や角を直接図形的に求めるよりも計算が安定する。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{NM} =\frac{1}{3}(2\vec a-\vec b-2\vec c) $$

(2)

$$ \vec a\cdot\vec b=\frac{1}{2} $$

(3)

$$ \frac{MH}{MN}=\frac{1}{5} $$