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数学C 空間ベクトル問題 29 解説

方針・初手

点 $P,Q$ はそれぞれ直線 $OA,OB$ 上にあるので、直線上の点を媒介変数で表し、垂線条件を内積が $0$ であることとして処理する。

四面体 $OPQC$ の体積は、$O$ を原点として

$$ \frac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC})\right| $$

で求めればよい。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{OA}=(2,1,0),\quad \overrightarrow{OB}=(1,3,0),\quad \overrightarrow{OC}=(3,3,2) $$

である。

点 $P$ の座標

点 $P$ は直線 $OA$ 上にあるから、実数 $t$ を用いて

$$ P=t\overrightarrow{OA}=(2t,t,0) $$

とおける。

また、$CP$ は直線 $OA$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{OA}=0 $$

が成り立つ。

ここで

$$ \overrightarrow{CP}=P-C=(2t-3,t-3,-2) $$

であるから、

$$ (2t-3,t-3,-2)\cdot(2,1,0)=0 $$

より

$$ 2(2t-3)+(t-3)=0 $$

となる。したがって

$$ 5t-9=0 $$

より

$$ t=\frac{9}{5} $$

である。

よって

$$ P=\left(\frac{18}{5},\frac{9}{5},0\right) $$

である。

点 $Q$ の座標

点 $Q$ は直線 $OB$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて

$$ Q=s\overrightarrow{OB}=(s,3s,0) $$

とおける。

また、$CQ$ は直線 $OB$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{OB}=0 $$

が成り立つ。

ここで

$$ \overrightarrow{CQ}=Q-C=(s-3,3s-3,-2) $$

であるから、

$$ (s-3,3s-3,-2)\cdot(1,3,0)=0 $$

より

$$ (s-3)+3(3s-3)=0 $$

となる。したがって

$$ 10s-12=0 $$

より

$$ s=\frac{6}{5} $$

である。

よって

$$ Q=\left(\frac{6}{5},\frac{18}{5},0\right) $$

である。

次に、四面体 $OPQC$ の体積を求める。$O$ は原点であるから、

$$ V=\frac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC})\right| $$

である。

ここで

$$ \overrightarrow{OP}=\left(\frac{18}{5},\frac{9}{5},0\right),\quad \overrightarrow{OQ}=\left(\frac{6}{5},\frac{18}{5},0\right),\quad \overrightarrow{OC}=(3,3,2) $$

である。

したがって

$$ \det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC}) = \begin{vmatrix} \frac{18}{5} & \frac{6}{5} & 3\\ \frac{9}{5} & \frac{18}{5} & 3\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} $$

である。第 $3$ 行で展開すると、

$$ \begin{aligned} \det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC}) &= 2\begin{vmatrix} \frac{18}{5} & \frac{6}{5}\\ \frac{9}{5} & \frac{18}{5} \end{vmatrix}\\ &= 2\left(\frac{18}{5}\cdot\frac{18}{5}-\frac{6}{5}\cdot\frac{9}{5}\right)\\ &= 2\left(\frac{324}{25}-\frac{54}{25}\right)\\ &= 2\cdot\frac{270}{25}\\ &= \frac{108}{5} \end{aligned} $$

である。

よって、四面体 $OPQC$ の体積は

$$ V=\frac{1}{6}\cdot\frac{108}{5}=\frac{18}{5} $$

である。

解説

垂線の足を求める問題では、直線上の点を媒介変数で表し、「垂直」を内積 $0$ に直すのが基本である。

この問題では $OA,OB$ がともに $xy$ 平面上にあり、点 $P,Q$ も $xy$ 平面上にある。したがって三角形 $OPQ$ を底面と見れば、点 $C$ から $xy$ 平面までの高さは $2$ である。この見方を使っても体積を求められるが、行列式を使うと座標計算として一貫して処理できる。