数学C 空間ベクトル 問題 30 解説

方針・初手

直線 $\ell$ は $xy$ 平面上の原点を通り，方向ベクトルが

$$ \boldsymbol{u}=(\cos\theta,\sin\theta,0) $$

である直線である。しかも $|\boldsymbol{u}|=1$ なので，点 $A$ から $\ell$ への正射影をそのまま内積で求めればよい。

解法1

直線 $\ell$ 上の点は媒介変数 $t$ を用いて

$$ (t\cos\theta,\ t\sin\theta,\ 0) $$

と表される。点 $P$ は $A(4,0,3)$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足であるから，$P$ は $A$ の直線 $\ell$ への正射影である。

直線 $\ell$ の方向ベクトルを

$$ \boldsymbol{u}=(\cos\theta,\sin\theta,0) $$

とおくと，$|\boldsymbol{u}|=1$ である。したがって，正射影の係数は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot \boldsymbol{u} &= (4,0,3)\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0)\\ &= 4\cos\theta \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= (4\cos\theta)\boldsymbol{u}\\ &= 4\cos\theta(\cos\theta,\sin\theta,0) \end{aligned} $$

となる。

したがって，点 $P$ の座標は

$$ P=(4\cos^2\theta,\ 4\sin\theta\cos\theta,\ 0) $$

である。

(1)

より，求める座標は

$$ P=(4\cos^2\theta,\ 4\sin\theta\cos\theta,\ 0) $$

である。

次に，(2) を考える。三角関数の倍角公式を用いると

$$ 4\cos^2\theta=2+2\cos2\theta,\qquad 4\sin\theta\cos\theta=2\sin2\theta $$

であるから，点 $P$ は

$$ P=(2+2\cos2\theta,\ 2\sin2\theta,\ 0) $$

と表される。

ここで $\theta$ が $0\leqq \theta<\pi$ の範囲を動くとき，$2\theta$ は

$$ 0\leqq 2\theta<2\pi $$

の範囲を動く。したがって，点 $P$ は $xy$ 平面上で

$$ x=2+2\cos\phi,\qquad y=2\sin\phi\qquad (0\leqq \phi<2\pi) $$

と表される図形を動く。ただし $\phi=2\theta$ とおいた。

よって軌跡は

$$ (x-2)^2+y^2=4,\qquad z=0 $$

で表される円である。中心は $(2,0,0)$，半径は $2$ である。

最後に，(3) を考える。$P$ は $A$ の直線 $\ell$ への正射影であるから，三平方の定理より

$$ AP^2 = OA^2-OP^2 $$

である。

ここで

$$ OA^2=4^2+0^2+3^2=25 $$

であり，

$$ OP=|4\cos\theta| $$

だから

$$ OP^2=16\cos^2\theta $$

である。したがって

$$ AP^2 = 25-16\cos^2\theta $$

となる。

$0\leqq \theta<\pi$ において

$$ 0\leqq \cos^2\theta\leqq 1 $$

であるから，

$$ 9\leqq AP^2\leqq 25 $$

である。よって

$$ 3\leqq AP\leqq 5 $$

となる。

最小値は $\cos^2\theta=1$ のとき，すなわち $\theta=0$ のときに

$$ AP=3 $$

である。

最大値は $\cos^2\theta=0$ のとき，すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときに

$$ AP=5 $$

である。

解説

この問題の中心は，直線 $\ell$ の方向ベクトル

$$ (\cos\theta,\sin\theta,0) $$

が単位ベクトルであることに気づく点である。単位ベクトルへの正射影は，内積をそのまま係数として使えるため，垂線の足 $P$ を簡潔に求められる。

また，$P$ の座標に $\cos^2\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が現れるので，倍角公式

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2},\qquad 2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta $$

を使うと，円の媒介表示になる。$\theta$ の範囲が $0\leqq\theta<\pi$ であるため，$2\theta$ は $0\leqq 2\theta<2\pi$ を動き，円を一周する。

答え

(1)

$$ P=(4\cos^2\theta,\ 4\sin\theta\cos\theta,\ 0) $$

(2)

$$ (x-2)^2+y^2=4,\qquad z=0 $$

すなわち，$xy$ 平面上の中心 $(2,0,0)$，半径 $2$ の円である。

(3)

$$ AP_{\min}=3,\qquad AP_{\max}=5 $$