数学C 空間ベクトル問題 39 解説

方針・初手

与えられた式は、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ 方向の成分と、それに垂直な成分に分けたものを表している。

$\overrightarrow{OA}$ は長さ $1$ のベクトルであるため、

$$ \overrightarrow{OP} = (\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OA} + \left\{\overrightarrow{OP}-(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OA}\right\} $$

という直交分解を用いる。

解法1

まず、(1), (2) のどちらの場合も $\overrightarrow{OA}$ の長さは $1$ である。

実際に、

$$ \begin{aligned} \left|\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right|^2 &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ &= 1 \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \left|\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right|^2 &= \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\ &= 1 \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \vec{p}=\overrightarrow{OP},\qquad \vec{a}=\overrightarrow{OA} $$

とおく。ただし $|\vec{a}|=1$ である。

与えられた不等式の左辺は

$$ (\vec{p}\cdot \vec{a})^2+\left|\vec{p}-(\vec{p}\cdot \vec{a})\vec{a}\right|^2 $$

である。

第2項を計算すると、

$$ \begin{aligned} \left|\vec{p}-(\vec{p}\cdot \vec{a})\vec{a}\right|^2 &= \left(\vec{p}-(\vec{p}\cdot \vec{a})\vec{a}\right)\cdot \left(\vec{p}-(\vec{p}\cdot \vec{a})\vec{a}\right)\\ &= |\vec{p}|^2 -2(\vec{p}\cdot \vec{a})^2 +(\vec{p}\cdot \vec{a})^2|\vec{a}|^2. \end{aligned} $$

ここで $|\vec{a}|=1$ より、

$$ \left|\vec{p}-(\vec{p}\cdot \vec{a})\vec{a}\right|^2 = |\vec{p}|^2-(\vec{p}\cdot \vec{a})^2 $$

となる。

したがって、左辺全体は

$$ \begin{aligned} (\vec{p}\cdot \vec{a})^2+\left|\vec{p}-(\vec{p}\cdot \vec{a})\vec{a}\right|^2 &= (\vec{p}\cdot \vec{a})^2+ \left\{|\vec{p}|^2-(\vec{p}\cdot \vec{a})^2\right\}\\ &= |\vec{p}|^2. \end{aligned} $$

よって、与えられた不等式は単に

$$ |\overrightarrow{OP}|^2\leqq 1 $$

すなわち

$$ OP\leqq 1 $$

を表す。

(1)

では $xy$ 平面上の点 $P(x,y)$ について

$$ |\overrightarrow{OP}|^2=x^2+y^2 $$

であるから、条件は

$$ x^2+y^2\leqq 1 $$

となる。これは原点を中心とする半径 $1$ の円の内部および周である。

したがって、求める面積は

$$ \pi\cdot 1^2=\pi $$

である。

(2)

では $xyz$ 空間上の点 $P(x,y,z)$ について

$$ |\overrightarrow{OP}|^2=x^2+y^2+z^2 $$

であるから、条件は

$$ x^2+y^2+z^2\leqq 1 $$

となる。これは原点を中心とする半径 $1$ の球の内部および表面である。

したがって、求める体積は

$$ \frac{4}{3}\pi\cdot 1^3=\frac{4\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の本質は、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ 方向の成分と、それに垂直な成分に分解している点にある。

$\overrightarrow{OA}$ が単位ベクトルなので、$(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OA}$ は $\overrightarrow{OP}$ の $\overrightarrow{OA}$ 方向への射影ベクトルである。

そのため、

$$ \left|\overrightarrow{OP}\right|^2 = (\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA})^2 + \left|\overrightarrow{OP}-(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OA}\right|^2 $$

が成り立つ。これは三平方の定理そのものである。

したがって、与えられた不等式は見た目ほど複雑ではなく、結局は「原点からの距離が $1$ 以下」という条件に帰着する。