数学C 空間ベクトル 問題 51 解説

方針・初手

平面が辺 $CD$ と直交することを示すには、その平面上の交わる2直線がともに $CD$ と直交することを示せばよい。

すでに $AB \perp CD$ は与えられているので、あとは $AM \perp CD$ を示せばよい。中点 $M$ を原点にとり、ベクトルの内積で処理する。

解法1

点 $M$ を原点とし、

$$ \vec{MA}=\mathbf{a},\quad \vec{MB}=\mathbf{b},\quad \vec{MC}=\mathbf{c} $$

とおく。

$M$ は辺 $CD$ の中点であるから、

$$ \vec{MD}=-\mathbf{c} $$

である。したがって、辺 $CD$ の方向ベクトルは $2\mathbf{c}$ と平行である。

まず、条件 $AB \perp CD$ より、

$$ (\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}=0 $$

である。

次に、条件 $CA \perp CB$ を内積で表す。 $\vec{CA}=\mathbf{a}-\mathbf{c}$、$\vec{CB}=\mathbf{b}-\mathbf{c}$ であるから、

$$ (\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})=0 $$

すなわち、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}=0 $$

である。

また、条件 $DA \perp DB$ を内積で表す。 $\vec{DA}=\mathbf{a}+\mathbf{c}$、$\vec{DB}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$ であるから、

$$ (\mathbf{a}+\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=0 $$

すなわち、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}=0 $$

である。

この2式を引くと、

$$ 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0 $$

より、

$$ (\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=0 $$

を得る。

一方、すでに

$$ (\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{c}=0 $$

も成り立っている。よって、

$$ \begin{cases} (\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=0\\ (\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{c}=0 \end{cases} $$

である。

この2式の差をとると、

$$ 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=0 $$

したがって、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=0 $$

である。

これは $\vec{MA}$ と $\vec{MC}$ が垂直であることを表す。辺 $CD$ の方向は $\mathbf{c}$ と平行であるから、

$$ AM \perp CD $$

である。

また、問題の条件より

$$ AB \perp CD $$

である。

直線 $AB$ と直線 $AM$ はともに平面 $ABM$ 上にあり、点 $A$ で交わる。したがって、直線 $CD$ は平面 $ABM$ 上の交わる2直線 $AB,AM$ の両方に垂直である。

よって、平面 $ABM$ は辺 $CD$ と直交する。

解説

この問題の核心は、$CA \perp CB$ と $DA \perp DB$ という2つの直角条件を、中点 $M$ を原点にして対称的に書くことである。

$M$ を原点にすると、$C$ と $D$ の位置ベクトルが $\mathbf{c}$ と $-\mathbf{c}$ になり、2つの直角条件が

$$ (\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})=0,\quad (\mathbf{a}+\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=0 $$

という対称な形になる。この差をとることで、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ と $\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}$ に関する条件が得られる。

さらに、もともと $AB \perp CD$ があるため、$(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{c}=0$ も使える。これらを組み合わせることで $AM \perp CD$ が導ける。

平面と直線の垂直を示すときは、「その平面上の交わる2直線に垂直」を示すのが典型である。

答え

平面 $ABM$ 上の直線 $AB$ と $AM$ は点 $A$ で交わり、

$$ AB \perp CD,\quad AM \perp CD $$

が成り立つ。

したがって、頂点 $A$、頂点 $B$、辺 $CD$ の中点 $M$ の3点を通る平面は、辺 $CD$ と直交する。