数学C 空間ベクトル 問題 52 解説

方針・初手

$a_n=2^n-(-1)^n$ は、$2^n$ の成分と $(-1)^n$ の成分に分けて扱うとよい。

(1) では、$\vec p\cdot \vec v_n=0$ がすべての自然数 $n$ で成り立つ条件を、$2^n$ と $(-1)^n$ の係数比較に帰着する。

(2) では、$\dfrac{1}{2^n}\vec v_n$ の各成分を直接計算する。

(3) では、(1) で得た $\vec p$ と (2) で得た極限ベクトル $\vec v$ が垂直であることを利用する。

解法1

まず

$$ a_n=2^n-(-1)^n $$

より、

$$ \begin{aligned} a_{n+2}&=2^{n+2}-(-1)^{n+2}=4\cdot 2^n-(-1)^n,\\ a_{n+1}&=2^{n+1}-(-1)^{n+1}=2\cdot 2^n+(-1)^n,\\ a_n&=2^n-(-1)^n \end{aligned} $$

である。

(1)

$\vec p=(1,b,c)$ が $\vec v_n=(a_{n+2},a_{n+1},a_n)$ と垂直であるから、

$$ \vec p\cdot \vec v_n=a_{n+2}+ba_{n+1}+ca_n=0 $$

がすべての自然数 $n$ で成り立つ。

上の式に各 $a$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} a_{n+2}+ba_{n+1}+ca_n &={4\cdot 2^n-(-1)^n}+b{2\cdot 2^n+(-1)^n}+c{2^n-(-1)^n}\\ &=(4+2b+c)2^n+(-1+b-c)(-1)^n \end{aligned} $$

となる。

これがすべての自然数 $n$ で $0$ となるには、

$$ \begin{cases} 4+2b+c=0,\\ -1+b-c=0 \end{cases} $$

が必要である。

これを解くと、

$$ \begin{cases} 2b+c=-4,\\ b-c=1 \end{cases} $$

より、$c=b-1$ であるから、

$$ 2b+(b-1)=-4 $$

となる。したがって、

$$ 3b=-3 $$

より、

$$ b=-1,\qquad c=-2 $$

である。

(2)

$$ \frac{1}{2^n}\vec v_n = \left( \frac{a_{n+2}}{2^n}, \frac{a_{n+1}}{2^n}, \frac{a_n}{2^n} \right) $$

である。

各成分を計算すると、

$$ \begin{aligned} q_n&=\frac{a_{n+2}}{2^n} =\frac{2^{n+2}-(-1)^{n+2}}{2^n} =4-\frac{(-1)^n}{2^n},\\ r_n&=\frac{a_{n+1}}{2^n} =\frac{2^{n+1}-(-1)^{n+1}}{2^n} =2+\frac{(-1)^n}{2^n},\\ s_n&=\frac{a_n}{2^n} =\frac{2^n-(-1)^n}{2^n} =1-\frac{(-1)^n}{2^n} \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=0 $$

だから、

$$ q=4,\qquad r=2,\qquad s=1 $$

となる。

したがって、

$$ \vec v=(q,r,s)=(4,2,1) $$

である。

(3)

(1) より、

$$ \vec p=(1,-1,-2) $$

であり、(2) より、

$$ \vec v=(4,2,1) $$

である。

内積を計算すると、

$$ \vec p\cdot \vec v =1\cdot 4+(-1)\cdot 2+(-2)\cdot 1 =4-2-2 =0 $$

である。したがって、$\vec p$ と $\vec v$ は垂直である。

また、

$$ |\vec p|^2=1^2+(-1)^2+(-2)^2=6 $$

であり、

$$ |\vec v|^2=4^2+2^2+1^2=21 $$

である。

求める条件は、$\vec p+t\vec v$ と $\vec v$ のなす角が $\dfrac{\pi}{6}$ であることだから、

$$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{(\vec p+t\vec v)\cdot \vec v}{|\vec p+t\vec v||\vec v|} $$

を用いる。

$\vec p\cdot \vec v=0$ より、

$$ \begin{aligned} (\vec p+t\vec v)\cdot \vec v &= \vec p\cdot \vec v+t|\vec v|^2\\ &= 21t \end{aligned} $$

である。

また、$\vec p$ と $\vec v$ は垂直なので、

$$ \begin{aligned} |\vec p+t\vec v|^2 &= |\vec p|^2+t^2|\vec v|^2\\ &= 6+21t^2 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \frac{21t}{\sqrt{6+21t^2}\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。左辺は

$$ \frac{\sqrt{21}t}{\sqrt{6+21t^2}} $$

となるから、

$$ \frac{\sqrt{21}t}{\sqrt{6+21t^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

両辺を2乗して、

$$ \frac{21t^2}{6+21t^2} = \frac{3}{4} $$

となる。

これを解くと、

$$ 84t^2=18+63t^2 $$

より、

$$ 21t^2=18 $$

である。したがって、

$$ t^2=\frac{6}{7} $$

である。

$t$ は正の実数だから、

$$ t=\sqrt{\frac{6}{7}} $$

である。

解説

この問題では、$a_n=2^n-(-1)^n$ をそのまま扱うのではなく、$2^n$ の部分と $(-1)^n$ の部分に分けることが重要である。

(1) では「すべての自然数 $n$ に対して垂直」という条件から、$2^n$ と $(-1)^n$ の係数がそれぞれ $0$ になる必要がある。ここで単にいくつかの $n$ を代入して終わらせるのではなく、恒等的に成り立つ条件として処理することが大切である。

(3) では、$\vec p$ と極限ベクトル $\vec v$ が垂直になるため、$\vec p+t\vec v$ は直交する2成分の和として扱える。そのため、内積と長さの計算が大きく簡単になる。

答え

(1)

$$ b=-1,\qquad c=-2 $$

(2)

$$ q=4,\qquad r=2,\qquad s=1 $$

したがって、

$$ \vec v=(4,2,1) $$

(3)

$$ t=\sqrt{\frac{6}{7}} $$