数学C 空間ベクトル 問題 67 解説

方針・初手

直線 $l$ 上の点 $P$ を媒介変数で表し、$OP$ が直線 $l$ と垂直である条件を内積 $0$ で表す。

直線 $l$ の方向ベクトルは、$A(0,1,1)$、$B(1,3,0)$ より

$$ \overrightarrow{AB}=(1,2,-1) $$

である。

解法1

直線 $l$ 上の点 $P$ は、実数 $t$ を用いて

$$ P=A+t\overrightarrow{AB} $$

と表せる。したがって

$$ P=(0,1,1)+t(1,2,-1)=(t,1+2t,1-t) $$

である。

原点を $O$ とすると、

$$ \overrightarrow{OP}=(t,1+2t,1-t) $$

である。

直線 $OP$ が直線 $l$ と垂直に交わるためには、$\overrightarrow{OP}$ が直線 $l$ の方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と垂直であればよい。よって

$$ \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}=0 $$

である。

これを計算すると、

$$ (t,1+2t,1-t)\cdot(1,2,-1)=0 $$

より

$$ t+2(1+2t)-(1-t)=0 $$

である。整理して

$$ t+2+4t-1+t=0 $$

すなわち

$$ 6t+1=0 $$

となる。したがって

$$ t=-\frac{1}{6} $$

である。

よって、点 $P$ の $y$ 座標は

$$ 1+2t=1+2\left(-\frac{1}{6}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

である。

解説

直線上の点を媒介変数で表し、垂直条件を内積で処理する典型問題である。

ここで注意すべき点は、垂直なのは $OP$ と直線 $l$ であり、したがって $\overrightarrow{OP}$ と直線 $l$ の方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ の内積を $0$ にすることである。

点 $P$ は直線 $l$ 上にあるので、$P=(t,1+2t,1-t)$ と置けば、条件は一次方程式になり、$y$ 座標もすぐに求まる。

答え

$$ [③]=\frac{2}{3} $$