数学C 空間ベクトル 問題 68 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ は座標軸上の切片をもつ平面なので、まず平面の方程式を求める。次に、点 $P$ から平面 $\alpha$ への垂線方向は平面の法線ベクトル方向であることを用いる。

解法1

$A(1,0,0)$、$B\left(0,\dfrac12,0\right)$、$C\left(0,0,\dfrac13\right)$ を通る平面 $\alpha$ は、切片の形から

$$ \frac{x}{1}+\frac{y}{1/2}+\frac{z}{1/3}=1 $$

である。したがって、

$$ x+2y+3z=1 $$

と表される。

また、

$$ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} $$

より、

$$ P=\left(1,\frac12,\frac13\right) $$

である。

平面 $\alpha$ の法線ベクトルは

$$ \boldsymbol{n}=(1,2,3) $$

であるから、$\overrightarrow{PQ}$ は $\boldsymbol{n}$ に平行である。よって、実数 $t$ を用いて

$$ Q=P+t(1,2,3) $$

とおける。

$P=\left(1,\dfrac12,\dfrac13\right)$ であるから、

$$ Q= \left(1+t,\frac12+2t,\frac13+3t\right) $$

である。点 $Q$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、

$$ (1+t)+2\left(\frac12+2t\right)+3\left(\frac13+3t\right)=1 $$

を満たす。これを整理すると、

$$ 3+14t=1 $$

より、

$$ t=-\frac17 $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{PQ} = t(1,2,3) \left(-\frac17,-\frac27,-\frac37\right) $$

である。

ここで、

$$ \overrightarrow{OA}=(1,0,0),\quad \overrightarrow{OB}=\left(0,\frac12,0\right),\quad \overrightarrow{OC}=\left(0,0,\frac13\right) $$

であるから、

$$ \left(-\frac17,-\frac27,-\frac37\right) = -\frac17\overrightarrow{OA} -\frac47\overrightarrow{OB} -\frac97\overrightarrow{OC} $$

となる。

解説

この問題では、平面の方程式を立てたあと、垂線方向が法線ベクトル方向であることを使えばよい。

注意すべき点は、最後に $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を用いて表すとき、$\overrightarrow{OB}$ や $\overrightarrow{OC}$ は標準基底ではないことである。例えば $\overrightarrow{OB}=\left(0,\dfrac12,0\right)$ なので、$y$ 成分 $-\dfrac27$ を作るには係数は $-\dfrac47$ となる。

答え

$$ \overrightarrow{PQ} = -\frac17\overrightarrow{OA} -\frac47\overrightarrow{OB} -\frac97\overrightarrow{OC} $$