数学C 空間ベクトル 問題 75 解説

方針・初手

直線 $l$ は $xy$ 平面に垂直で、点 $(2,2,0)$ を通るので、$l$ 上の点は $(2,2,z)$ と表せる。

点 $Q$ を $Q(2,2,s)$ とおき、条件 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{AQ}$ を内積で処理する。最後に $t=x+y$ を用いて整理すればよい。

解法1

点 $Q$ は直線 $l$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて

$$ Q(2,2,s) $$

とおける。

また、

$$ A(1,1,1),\quad P(x,y,0) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{AP}=(x-1,y-1,-1) $$

であり、

$$ \overrightarrow{AQ}=(1,1,s-1) $$

である。

条件 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{AQ}$ より、

$$ \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=0 $$

である。したがって、

$$ (x-1)\cdot 1+(y-1)\cdot 1+(-1)(s-1)=0 $$

より、

$$ x+y-2-s+1=0 $$

すなわち、

$$ s=x+y-1 $$

である。

ここで $t=x+y$ とおいたから、

$$ s=t-1 $$

であり、

$$ Q(2,2,t-1) $$

を得る。

次に、$PQ^2$ を求める。

$$ PQ^2=(x-2)^2+(y-2)^2+{0-(t-1)}^2 $$

である。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)+(t-1)^2\\ &=x^2+y^2-4(x+y)+8+(t-1)^2 \end{aligned} $$

である。

点 $P$ は円 $C:x^2+y^2=18$ 上にあるから、

$$ x^2+y^2=18 $$

であり、また $x+y=t$ より、

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=18-4t+8+(t-1)^2\\ &=26-4t+t^2-2t+1\\ &=t^2-6t+27 \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ PQ^2=t^2-6t+27 $$

である。

最後に、$t$ の範囲を求める。

点 $P(x,y,0)$ が円 $C$ 上を動くとき、

$$ x^2+y^2=18 $$

である。$t=x+y$ について、コーシー・シュワルツの不等式より、

$$ (x+y)^2\leq (1^2+1^2)(x^2+y^2) $$

だから、

$$ t^2\leq 2\cdot 18=36 $$

である。よって、

$$ -6\leq t\leq 6 $$

である。

また、

$$ PQ^2=t^2-6t+27=(t-3)^2+18 $$

である。$-6\leq t\leq 6$ において、この二次関数は $t=3$ で最小値をとる。

したがって、

$$ PQ^2_{\min}=18 $$

より、

$$ PQ_{\min}=3\sqrt{2} $$

である。

最大値は区間の端点で比較する。

$$ \begin{aligned} t=-6\text{ のとき}\quad PQ^2&=(-6)^2-6(-6)+27=99,\\ t=6\text{ のとき}\quad PQ^2&=6^2-6\cdot 6+27=27 \end{aligned} $$

より、最大値は $t=-6$ のときである。

したがって、

$$ PQ_{\max}=\sqrt{99}=3\sqrt{11} $$

である。

解説

この問題では、直線 $l$ 上の点 $Q$ をまず $Q(2,2,s)$ とおくことが初手である。直線が $xy$ 平面に垂直であるため、$x$ 座標と $y$ 座標は固定され、$z$ 座標だけが変化する。

条件 $\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{AQ}$ は内積が $0$ であることに置き換えられる。これにより $Q$ の $z$ 座標が $x+y$、つまり $t$ だけで表される。

また、$PQ^2$ を計算すると $x,y$ が直接残るが、$x^2+y^2=18$ と $x+y=t$ を使うことで $t$ だけの式に整理できる。

$t=x+y$ の範囲は、円 $x^2+y^2=18$ 上での一次式 $x+y$ の最大・最小を求める問題であり、コーシー・シュワルツの不等式を使うのが標準的である。

答え

(1)

$$ Q(2,2,t-1) $$

(2)

$$ PQ^2=t^2-6t+27 $$

(3)

$$ -6\leq t\leq 6 $$

また、

$$ PQ_{\max}=3\sqrt{11},\qquad PQ_{\min}=3\sqrt{2} $$