数学C 空間ベクトル 問題 76 解説

方針・初手

$B'$ と $C'$ の位置ベクトルをまず書く。平行四辺形 $ABCD$ より $D$ の位置ベクトルは $\vec a-\vec b+\vec c$ である。

$D'$ は直線 $OD$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD'}=t(\vec a-\vec b+\vec c) $$

とおき、さらに $D'$ が平面 $AB'C'$ 上にある条件から $t$ を求める。

解法1

$B'$ は $OB$ の中点であるから

$$ \overrightarrow{OB'}=\frac12\vec b $$

である。また、$C'$ は $OC$ を $1:2$ に内分する点なので

$$ \overrightarrow{OC'}=\frac13\vec c $$

である。

平行四辺形 $ABCD$ より

$$ \overrightarrow{OD} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} =\vec a-\vec b+\vec c $$

である。

$D'$ は直線 $OD$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD'}=t(\vec a-\vec b+\vec c) $$

と表せる。

一方、$D'$ は平面 $AB'C'$ 上にあるので、実数 $u,v$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD'} =\vec a+u\left(\frac12\vec b-\vec a\right)+v\left(\frac13\vec c-\vec a\right) $$

と表せる。右辺を整理すると

$$ \overrightarrow{OD'} =(1-u-v)\vec a+\frac{u}{2}\vec b+\frac{v}{3}\vec c $$

である。

これを

$$ t(\vec a-\vec b+\vec c)=t\vec a-t\vec b+t\vec c $$

と係数比較する。$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であるから、

$$ \begin{cases} t=1-u-v,\\ -t=\dfrac{u}{2},\\ t=\dfrac{v}{3} \end{cases} $$

を得る。第2式、第3式より

$$ u=-2t,\qquad v=3t $$

である。これを第1式に代入すると

$$ t=1-(-2t)-3t=1-t $$

より

$$ t=\frac12 $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{OD'} =\frac12(\vec a-\vec b+\vec c) $$

である。よって $D'$ は $OD$ の中点であり、

$$ OD'=\frac12 OD $$

である。

次に体積を求める。

三角錐 $AOB'D'$ と三角錐 $AOBD$ を比べる。どちらも頂点 $O$ から見て、3本のベクトルで体積を表すとよい。

三角錐 $AOBD$ の体積は

$$ \frac16\left|\det(\vec a,\vec b,\overrightarrow{OD})\right| $$

である。一方、

$$ \overrightarrow{OB'}=\frac12\vec b,\qquad \overrightarrow{OD'}=\frac12\overrightarrow{OD} $$

なので、三角錐 $AOB'D'$ の体積は

$$ \frac16\left|\det\left(\vec a,\frac12\vec b,\frac12\overrightarrow{OD}\right)\right| =\frac14\cdot \frac16\left|\det(\vec a,\vec b,\overrightarrow{OD})\right| $$

である。

したがって、三角錐 $AOB'D'$ の体積は三角錐 $AOBD$ の体積の

$$ \frac14 $$

倍である。

最後に、四角錐 $OAB'C'D'$ と四角錐 $OABCD$ の体積比を求める。

まず四角錐 $OABCD$ を、対角線 $AC$ によって三角錐 $OABC$ と三角錐 $OACD$ に分ける。

$$ \overrightarrow{OD}=\vec a-\vec b+\vec c $$

であるから、

$$ \det(\vec a,\vec c,\overrightarrow{OD}) =\det(\vec a,\vec c,\vec a-\vec b+\vec c) =-\det(\vec a,\vec c,\vec b) =\det(\vec a,\vec b,\vec c) $$

である。

よって四角錐 $OABCD$ の体積は

$$ \frac16|\det(\vec a,\vec b,\vec c)| + \frac16|\det(\vec a,\vec c,\overrightarrow{OD})| = \frac13|\det(\vec a,\vec b,\vec c)| $$

である。

次に四角錐 $OAB'C'D'$ を、対角線 $AC'$ によって三角錐 $OAB'C'$ と三角錐 $OAC'D'$ に分ける。

まず

$$ \frac16\left|\det\left(\vec a,\frac12\vec b,\frac13\vec c\right)\right| = \frac1{36}|\det(\vec a,\vec b,\vec c)| $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \frac16\left|\det\left(\vec a,\frac13\vec c,\frac12\overrightarrow{OD}\right)\right| &= \frac1{36}|\det(\vec a,\vec c,\overrightarrow{OD})|\\ &= \frac1{36}|\det(\vec a,\vec b,\vec c)| \end{aligned} $$

である。

したがって四角錐 $OAB'C'D'$ の体積は

$$ \frac1{36}|\det(\vec a,\vec b,\vec c)| + \frac1{36}|\det(\vec a,\vec b,\vec c)| = \frac1{18}|\det(\vec a,\vec b,\vec c)| $$

である。

よって、四角錐 $OAB'C'D'$ の体積は四角錐 $OABCD$ の体積の

$$ \frac{\frac1{18}|\det(\vec a,\vec b,\vec c)|}{\frac13|\det(\vec a,\vec b,\vec c)|} =\frac16 $$

倍である。

解説

この問題の中心は、$D'$ を直線 $OD$ 上の点として

$$ \overrightarrow{OD'}=t\overrightarrow{OD} $$

とおき、同時に平面 $AB'C'$ 上の点として表すことである。

空間ベクトルでは、「直線上にある条件」と「平面上にある条件」を両方使うと、交点の位置ベクトルを係数比較で求められる。

体積比では、実際の長さや角度を求める必要はない。三角錐の体積は、3本の位置ベクトルの行列式の絶対値に比例するため、ベクトルが $\frac12$ 倍、$\frac13$ 倍になることだけを追えばよい。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OD'}=\frac12(\vec a-\vec b+\vec c) $$

(2)

$$ OD'=\frac12OD $$

したがって、$OD'$ は $OD$ の $\frac12$ 倍である。

(3)

$$ \frac14 $$

倍である。

(4)

$$ \frac16 $$

倍である。