数学C 空間ベクトル問題 77 解説

方針・初手

3点 $A,B,C$ は座標の入れ替えで定まっており、まず辺ベクトルを計算すると $\triangle ABC$ の形が分かる。体積は、原点を1つの頂点にもつ四面体なので、3本のベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ のスカラー三重積を使う。

正四面体になる条件は、すでに $\triangle ABC$ が正三角形であることを利用し、$OA$ と $AB$ の長さが等しい条件に帰着させる。

解法1

まず

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= B-A\\ &= (0,b-a,a-b) \end{aligned} $$

である。同様に

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= C-A\\ &= (b-a,0,a-b) \end{aligned} $$

である。

ここで $b>a$ より $b-a>0$ とおくと、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2 &= 0^2+(b-a)^2+(a-b)^2\\ &= 2(b-a)^2 \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AC}|^2 &= (b-a)^2+0^2+(a-b)^2\\ &= 2(b-a)^2 \end{aligned} $$

さらに

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= C-B\\ &= (b-a,a-b,0) \end{aligned} $$

より

$$ |\overrightarrow{BC}|^2=2(b-a)^2 $$

である。したがって $\triangle ABC$ は1辺の長さが $\sqrt{2}(b-a)$ の正三角形である。

よって、その面積 $S$ は

$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4}{\sqrt{2}(b-a)}^2 \frac{\sqrt{3}}{2}(b-a)^2 $$

である。

次に四面体 $OABC$ の体積 $V$ を求める。

$$ V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{pmatrix} a & a & b\\ a & b & a\\ b & a & a \end{pmatrix} \right| $$

である。この行列式を計算すると、

$$ \begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a & a & b\\ a & b & a\\ b & a & a \end{pmatrix} &= a(ba-a^2)-a(a^2-ab)+b(a^2-b^2)\\ &= a^2(b-a)+a^2(b-a)+b(a^2-b^2)\\ &= 2a^2(b-a)-b(b-a)(a+b)\\ &= (b-a)(2a^2-ab-b^2)\\ &= -(b-a)^2(2a+b) \end{aligned} $$

となる。$b>a\geqq 0$ より $2a+b>0$ であるから、

$$ V = \frac{(b-a)^2(2a+b)}{6} $$

である。

次に、四面体 $OABC$ が正四面体となる条件を求める。

すでに $\triangle ABC$ は正三角形であり、

$$ AB=BC=CA=\sqrt{2}(b-a) $$

である。また

$$ \begin{aligned} OA^2 &= a^2+a^2+b^2\\ &= 2a^2+b^2 \end{aligned} $$

である。$OB,OC$ も座標の入れ替えなので同じ長さであり、

$$ OA=OB=OC $$

である。

したがって、四面体 $OABC$ が正四面体となるための必要十分条件は

$$ OA=AB $$

である。これを2乗して

$$ 2a^2+b^2=2(b-a)^2 $$

となる。右辺を展開すると

$$ 2a^2+b^2=2b^2-4ab+2a^2 $$

より、

$$ b^2=2b^2-4ab $$

すなわち

$$ b^2-4ab=0 $$

である。

$$ b(b-4a)=0 $$

であり、$b>a\geqq 0$ だから $b>0$ である。よって

$$ b=4a $$

を得る。なお、このとき $b>a$ より $a>0$ である。

最後に $a,b$ がともに自然数で、正四面体となる条件 $b=4a$ を満たすものを考える。$a\geqq 1$ であるから、$b=4a$ が最小となるのは

$$ a=1,\qquad b=4 $$

のときである。

このとき

$$ b-a=3 $$

であるから、

$$ S = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3^2 \frac{9\sqrt{3}}{2} $$

また

$$ V = \frac{3^2(2\cdot 1+4)}{6} \frac{9\cdot 6}{6} 9 $$

である。

解説

この問題では、$A,B,C$ の座標が対称的に与えられているため、辺の長さがそろいやすい構造になっている。最初に $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$ を計算すると、$\triangle ABC$ が正三角形であることがすぐに分かる。

体積は、原点を頂点にもつ四面体なので、行列式を使うのが最短である。符号は体積には関係しないため、最後に絶対値を取ればよい。

正四面体の条件では、すでに $AB=BC=CA$ かつ $OA=OB=OC$ が成り立っている点が重要である。したがって、6本すべての辺を個別に比較する必要はなく、$OA=AB$ だけを調べれば十分である。