数学C 空間ベクトル 問題 99 解説

方針・初手

直線と平面の交点は、直線や平面をパラメータ表示または方程式で表して求める。まず直線 $AB$ を $A$ と方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ で表し、次に平面 $ABC$ の方程式を法線ベクトルから求める。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,2),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(2,4,-2) $$

である。

直線 $AB$ 上の点を、実数 $\lambda$ を用いて

$$ (x,y,z)=(2,-1,-1)+\lambda(1,-1,2) $$

とおく。すなわち

$$ (x,y,z)=(2+\lambda,-1-\lambda,-1+2\lambda) $$

である。

$yz$ 平面は $x=0$ で表されるから、

$$ 2+\lambda=0 $$

より

$$ \lambda=-2 $$

である。したがって、交点 $P$ は

$$ P=(0,1,-5) $$

である。

次に、平面 $ABC$ の方程式を求める。平面 $ABC$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積で与えられる。

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & -1 & 2\\ 2 & 4 & -2 \end{vmatrix} =(-6,6,6) $$

よって、法線ベクトルとして $(-1,1,1)$ を用いればよい。点 $A(2,-1,-1)$ を通るから、平面 $ABC$ の方程式は

$$ -(x-2)+(y+1)+(z+1)=0 $$

である。整理して

$$ -x+y+z+4=0 $$

すなわち

$$ x-y-z=4 $$

となる。

$x$ 軸上の点は $(x,0,0)$ と表されるので、これを平面の方程式に代入すると

$$ x=4 $$

である。したがって、交点 $Q$ は

$$ Q=(4,0,0) $$

である。

また、内積は

$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} =(1,-1,2)\cdot(2,4,-2) =2-4-4=-6 $$

である。

さらに、

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6} $$

かつ

$$ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6} $$

であるから、

$$ \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|} = \frac{-6}{\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}} -\frac{1}{2} $$

となる。したがって

$$ \angle BAC=\frac{2\pi}{3} $$

である。

最後に、三角形 $ABC$ の面積は

$$ \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| $$

で求められる。外積は $(-6,6,6)$ であるから、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-6)^2+6^2+6^2}\\ &= 6\sqrt{3} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \triangle ABC\text{ の面積} &= \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\\ &= 3\sqrt{3} \end{aligned} $$

である。

解説

直線と座標平面の交点は、直線をパラメータ表示して、座標平面の条件を代入すればよい。今回は $yz$ 平面なので $x=0$ を代入するだけである。

平面と座標軸の交点は、平面の方程式を作ってから、座標軸上の点の形を代入するのが最も確実である。平面 $ABC$ の方程式を作るには、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積から法線ベクトルを求める。

角度と面積については、内積が角度、外積が面積に対応する。特に

$$ \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|} $$

と

$$ \triangle ABC\text{ の面積} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| $$

を正確に使えばよい。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=(0,1,-5)} $$

$$ \boxed{\text{キ}=(4,0,0)} $$

$$ \boxed{\text{ク}=-6} $$

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{2\pi}{3}} $$

$$ \boxed{\text{コ}=3\sqrt{3}} $$