数学C 空間ベクトル 問題 100 解説

方針・初手

点 $L,M,N$ の位置ベクトルをまず $\vec a,\vec b,\vec c$ で表す。

正四面体の1辺の長さが $1$ であるから、

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1 $$

であり、また

$$ |\vec a-\vec b|=|\vec b-\vec c|=|\vec c-\vec a|=1 $$

より、

$$ \vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=\frac12 $$

である。この内積関係を用いて計算する。

解法1

辺 $OA,AB,BC$ をそれぞれ $p:1-p$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OL}=p\vec a $$

$$ \overrightarrow{OM}=(1-p)\vec a+p\vec b $$

$$ \overrightarrow{ON}=(1-p)\vec b+p\vec c $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{ML} &=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OM} \\ &=p\vec a-{(1-p)\vec a+p\vec b} \\ &=(2p-1)\vec a-p\vec b \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM} \\ &={(1-p)\vec b+p\vec c}-{(1-p)\vec a+p\vec b} \\ &=-(1-p)\vec a+(1-2p)\vec b+p\vec c \end{aligned} $$

である。

次に内積を計算する。正四面体の内積関係

$$ |\vec a|^2=|\vec b|^2=|\vec c|^2=1,\qquad \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12 $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{ML}\cdot\overrightarrow{MN} &={(2p-1)\vec a-p\vec b}\cdot{-(1-p)\vec a+(1-2p)\vec b+p\vec c} \\ &=2p^2-2p+\frac12 \\ &=2\left(p-\frac12\right)^2 \end{aligned} $$

である。

次に、$\overrightarrow{LN}$ を求める。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{LN} &=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OL} \\ &={(1-p)\vec b+p\vec c}-p\vec a \\ &=-p\vec a+(1-p)\vec b+p\vec c \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{LN}|^2 &={-p\vec a+(1-p)\vec b+p\vec c}\cdot{-p\vec a+(1-p)\vec b+p\vec c} \\ &=2p^2-2p+1 \\ &=2\left(p-\frac12\right)^2+\frac12 \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ |\overrightarrow{LN}|=\sqrt{2p^2-2p+1} $$

である。

$0<p<1$ において $|\overrightarrow{LN}|$ を最小にするには、$|\overrightarrow{LN}|^2$ を最小にすればよい。

$$ |\overrightarrow{LN}|^2=2\left(p-\frac12\right)^2+\frac12 $$

より、最小となるのは

$$ p=\frac12 $$

のときである。

このとき、

$$ \overrightarrow{ML}=-\frac12\vec b $$

また、

$$ \overrightarrow{MN}=-\frac12\vec a+\frac12\vec c=\frac12(\vec c-\vec a) $$

である。

したがって、

$$ |\overrightarrow{ML}|=\frac12 $$

であり、また $AC=1$ より

$$ |\overrightarrow{MN}|=\frac12|\vec c-\vec a|=\frac12 $$

である。

さらに、先に求めた

$$ \overrightarrow{ML}\cdot\overrightarrow{MN}=2\left(p-\frac12\right)^2 $$

より、$p=\frac12$ のとき

$$ \overrightarrow{ML}\cdot\overrightarrow{MN}=0 $$

である。よって、$\angle LMN=90^\circ$ である。

したがって、$\triangle LMN$ の面積は

$$ \frac12\cdot |\overrightarrow{ML}|\cdot |\overrightarrow{MN}| =\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12 =\frac18 $$

である。

解説

この問題では、正四面体のベクトルを座標化せずに扱うのが基本である。

正四面体では、同じ頂点 $O$ から出る3本の辺ベクトル $\vec a,\vec b,\vec c$ について、長さはすべて $1$ であり、互いの内積はすべて $\frac12$ になる。これは、たとえば

$$ |\vec a-\vec b|^2=AB^2=1 $$

からすぐに得られる。

内分点の位置ベクトルを正しく置ければ、あとは差を取ってベクトルを作り、内積公式で整理するだけである。

特に、$|\overrightarrow{LN}|$ の最小化では、平方根を直接扱う必要はない。長さは非負なので、$|\overrightarrow{LN}|$ の最小化は $|\overrightarrow{LN}|^2$ の最小化と同じである。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{ML}=(2p-1)\vec a-p\vec b $$

$$ \overrightarrow{MN}=-(1-p)\vec a+(1-2p)\vec b+p\vec c $$

$$ \overrightarrow{ML}\cdot\overrightarrow{MN} =2p^2-2p+\frac12 =2\left(p-\frac12\right)^2 $$

(2)

$$ \overrightarrow{LN}=-p\vec a+(1-p)\vec b+p\vec c $$

$$ |\overrightarrow{LN}|=\sqrt{2p^2-2p+1} $$

(3)

$$ p=\frac12 $$

のとき $|\overrightarrow{LN}|$ は最小となる。

そのときの $\triangle LMN$ の面積は

$$ \frac18 $$