数学C 空間ベクトル 問題 101 解説

方針・初手

点 $P,Q,L,M,D$ をすべて $\vec a,\vec b,\vec c$ の一次結合で表す。特に、$D$ は線分 $PL$ 上にも線分 $QM$ 上にもあるので、同じ点を2通りに媒介変数で表し、係数比較を行う。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{OP}=p\vec a,\qquad \overrightarrow{OQ}=q\vec b,\qquad \overrightarrow{OL}=(1-p)\vec b+p\vec c $$

である。

点 $M$ は辺 $AC$ 上にあるから、ある実数 $r$ を用いて

$$ \overrightarrow{OM}=(1-r)\vec a+r\vec c $$

とおける。

点 $D$ が線分 $PL$ 上にあるとして、ある実数 $s$ を用いると

$$ \overrightarrow{OD} =(1-s)\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OL} =p(1-s)\vec a+s(1-p)\vec b+sp\vec c $$

である。

また、点 $D$ が線分 $QM$ 上にあるとして、ある実数 $t$ を用いると

$$ \overrightarrow{OD} =(1-t)\overrightarrow{OQ}+t\overrightarrow{OM} =t(1-r)\vec a+q(1-t)\vec b+tr\vec c $$

である。

$\vec a,\vec b,\vec c$ の係数を比較すると、

$$ \begin{cases} p(1-s)=t(1-r),\\ s(1-p)=q(1-t),\\ sp=tr \end{cases} $$

を得る。

第1式と第3式を加えると

$$ p(1-s)+sp=t(1-r)+tr $$

より

$$ p=t $$

である。これを第2式に代入すると

$$ s(1-p)=q(1-p) $$

であり、$0<p<1$ だから

$$ s=q $$

となる。さらに第3式より

$$ qp=pr $$

であり、$0<p<1$ だから

$$ r=q $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{OM}=(1-q)\vec a+q\vec c $$

であり、

$$ \overrightarrow{OD} =p(1-q)\vec a+q(1-p)\vec b+pq\vec c $$

である。

次に、点 $R$ は辺 $OC$ 上、点 $N$ は辺 $AB$ 上にあるから

$$ \overrightarrow{OR}=x\vec c,\qquad \overrightarrow{ON}=(1-y)\vec a+y\vec b $$

とおける。

$R,D,N$ が一直線上にあるので、ある実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD}=(1-u)\overrightarrow{OR}+u\overrightarrow{ON} $$

と表せる。すなわち

$$ \overrightarrow{OD} =u(1-y)\vec a+uy\vec b+(1-u)x\vec c $$

である。

先に求めた

$$ \overrightarrow{OD} =p(1-q)\vec a+q(1-p)\vec b+pq\vec c $$

と係数を比較すると、

$$ u(1-y)=p(1-q),\qquad uy=q(1-p),\qquad (1-u)x=pq $$

である。

はじめの2式を加えて

$$ u=p(1-q)+q(1-p) $$

を得る。したがって

$$ \overrightarrow{ON} =\frac{p(1-q)\vec a+q(1-p)\vec b}{p(1-q)+q(1-p)} $$

である。

また

$$ 1-u=1-p(1-q)-q(1-p) =(1-p)(1-q)+pq $$

だから、

$$ x=\frac{pq}{(1-p)(1-q)+pq} $$

となる。よって

$$ \overrightarrow{OR} =\frac{pq}{(1-p)(1-q)+pq}\vec c $$

である。

次に、$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=0$ かつ $p+q=1$ とする。このとき $q=1-p$ である。

各点の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OP}=p\vec a,\qquad \overrightarrow{OQ}=(1-p)\vec b, $$

$$ \overrightarrow{OL}=(1-p)\vec b+p\vec c,\qquad \overrightarrow{OM}=p\vec a+(1-p)\vec c $$

である。

四角形 $PQLM$ の対角線は $PL$ と $QM$ である。ここで

$$ \overrightarrow{PL} =(1-p)\vec b-p\vec a+p\vec c $$

であり、

$$ \overrightarrow{QM} =p\vec a-(1-p)\vec b+(1-p)\vec c $$

である。

$$ \vec u=(1-p)\vec b-p\vec a $$

とおくと、

$$ \overrightarrow{PL}=\vec u+p\vec c,\qquad \overrightarrow{QM}=-\vec u+(1-p)\vec c $$

である。対角線が交わる四角形の面積は、2本の対角線の外積の大きさの半分であるから、

$$ S(p)=\frac12\left|\overrightarrow{PL}\times\overrightarrow{QM}\right| $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PL}\times\overrightarrow{QM} &=(\vec u+p\vec c)\times{-\vec u+(1-p)\vec c}\\ &=(1-p)\vec u\times\vec c-p\vec c\times\vec u\\ &=(1-p)\vec u\times\vec c+p\vec u\times\vec c\\ &=\vec u\times\vec c \end{aligned} $$

である。

また、$\vec u$ は $\vec a,\vec b$ の一次結合であり、$\vec c$ は $\vec a,\vec b$ の両方に垂直だから、$\vec u\perp\vec c$ である。したがって

$$ S(p)=\frac12|\vec u|,|\vec c| =\frac{c}{2}|\vec u| $$

である。

さらに $\vec a\perp\vec b$ より、

$$ |\vec u|^2 =\left|(1-p)\vec b-p\vec a\right|^2 =(1-p)^2b^2+p^2a^2 $$

である。よって

$$ S(p)=\frac{c}{2}\sqrt{p^2a^2+(1-p)^2b^2} $$

である。

最後に $S(p)$ の最小値を求める。$c>0$ なので、

$$ p^2a^2+(1-p)^2b^2 $$

を最小にすればよい。

$$ f(p)=p^2a^2+(1-p)^2b^2 $$

とおくと、

$$ f'(p)=2pa^2-2(1-p)b^2 =2p(a^2+b^2)-2b^2 $$

である。したがって

$$ f'(p)=0 $$

となるのは

$$ p=\frac{b^2}{a^2+b^2} $$

のときである。これは $0<p<1$ を満たす。

このとき

$$ 1-p=\frac{a^2}{a^2+b^2} $$

だから、

$$ \begin{aligned} f(p) &=\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}\right)^2a^2 +\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)^2b^2\\ &=\frac{a^2b^4+a^4b^2}{(a^2+b^2)^2}\\ &=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ S(p)_{\min} =\frac{c}{2}\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}} =\frac{abc}{2\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。

解説

この問題では、点が辺上にあることを位置ベクトルの一次結合で表し、同じ点 $D$ を2通りに表して係数比較するのが基本である。

(3) では、四角形 $PQLM$ の辺を直接追うより、対角線 $PL,QM$ を使う方が簡潔である。特に $p+q=1$ の条件により、外積の計算で係数がきれいにまとまる。

(4) は面積そのものを微分するより、平方根の中身

$$ p^2a^2+(1-p)^2b^2 $$

を最小化する方が処理しやすい。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OM}=(1-q)\vec a+q\vec c $$

$$ \overrightarrow{OD} =p(1-q)\vec a+q(1-p)\vec b+pq\vec c $$

(2)

$$ \overrightarrow{OR} =\frac{pq}{(1-p)(1-q)+pq}\vec c $$

$$ \overrightarrow{ON} =\frac{p(1-q)\vec a+q(1-p)\vec b}{p(1-q)+q(1-p)} $$

(3)

$$ S(p)=\frac{c}{2}\sqrt{p^2a^2+(1-p)^2b^2} $$

(4)

$$ S(p)_{\min} =\frac{abc}{2\sqrt{a^2+b^2}} $$

そのとき

$$ p=\frac{b^2}{a^2+b^2} $$