数学C 空間ベクトル 問題 116 解説

方針・初手

$\vec{x}$ を $t$ を用いて成分表示し、内積による角度条件

$$ \cos 45^\circ=\frac{\vec{a}\cdot \vec{x}}{|\vec{a}||\vec{x}|} $$

を立てる。ただし、なす角が $45^\circ$ であるためには $\vec{a}\cdot\vec{x}>0$ であることにも注意する。

解法1

まず、

$$ \vec{a}=(-1,-1,0),\qquad \vec{b}=(1,2,2) $$

より、

$$ \vec{x}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b} $$

を成分で表すと、

$$ \begin{aligned} \vec{x} &=(1-t)(-1,-1,0)+t(1,2,2)\\ &=(-1+t,-1+t,0)+(t,2t,2t)\\ &=(-1+2t,-1+3t,2t) \end{aligned} $$

である。

次に、内積を計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot\vec{x} &=(-1)(-1+2t)+(-1)(-1+3t)+0\cdot 2t\\ &=2-5t \end{aligned} $$

また、

$$ |\vec{a}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2} $$

であり、

$$ \begin{aligned} |\vec{x}|^2 &=(-1+2t)^2+(-1+3t)^2+(2t)^2\\ &=(1-4t+4t^2)+(1-6t+9t^2)+4t^2\\ &=17t^2-10t+2 \end{aligned} $$

である。

したがって、なす角が $45^\circ$ である条件は

$$ \frac{2-5t}{\sqrt{2}\sqrt{17t^2-10t+2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} $$

である。

両辺に $\sqrt{2}\sqrt{17t^2-10t+2}$ をかけると、

$$ 2-5t=\sqrt{17t^2-10t+2} $$

を得る。この式の右辺は $0$ 以上であるから、必要条件として

$$ 2-5t\geqq 0 $$

が必要である。

両辺を平方して、

$$ (2-5t)^2=17t^2-10t+2 $$

となる。整理すると、

$$ \begin{aligned} 4-20t+25t^2&=17t^2-10t+2\\ 8t^2-10t+2&=0\\ 4t^2-5t+1&=0\\ (4t-1)(t-1)&=0 \end{aligned} $$

よって、

$$ t=\frac14,\ 1 $$

が候補である。

しかし、$t=1$ のとき

$$ 2-5t=2-5=-3<0 $$

となり、$\vec{a}\cdot\vec{x}<0$ である。このときなす角は鋭角ではなく、$45^\circ$ にはならない。

一方、$t=\frac14$ のとき

$$ 2-5t=2-\frac54=\frac34>0 $$

であり、条件を満たす。

したがって、求める値は

$$ t=\frac14 $$

である。

解説

内積の式を平方すると、角度が $45^\circ$ の場合だけでなく、$135^\circ$ の場合も候補として混ざることがある。この問題では $t=1$ がその例であり、平方後の候補をそのまま答えにしてはいけない。

なす角が $45^\circ$ であるためには、$\cos 45^\circ>0$ なので、必ず $\vec{a}\cdot\vec{x}>0$ である。この符号確認が重要である。

答え

$$ t=\frac14 $$