数学C 空間ベクトル 問題 117 解説

方針・初手

辺の長さがすべて与えられているので、まず

$$ |\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} $$

を用いて内積を求める。

その後、三角形の面積は内積による公式で求め、点 $C$ から平面 $OAB$ への距離は、垂線の足 $H$ を $\vec{OH}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおいて垂直条件から求める。

解法1

まず

$$ |\vec{a}|=5,\quad |\vec{b}|=\sqrt{10},\quad |\vec{c}|=3 $$

であるから、

$$ \vec{a}\cdot\vec{a}=25,\quad \vec{b}\cdot\vec{b}=10,\quad \vec{c}\cdot\vec{c}=9 $$

である。

内積を求める

$AB=5$ より、

$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2=25 $$

である。したがって

$$ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}=25 $$

より、

$$ 25+10-2\vec{a}\cdot\vec{b}=25 $$

となる。よって

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=5 $$

である。

同様に、$BC=3$ より

$$ |\vec{b}-\vec{c}|^2=9 $$

だから、

$$ 10+9-2\vec{b}\cdot\vec{c}=9 $$

となり、

$$ \vec{b}\cdot\vec{c}=5 $$

である。

また、$AC=\sqrt{14}$ より

$$ |\vec{a}-\vec{c}|^2=14 $$

だから、

$$ 25+9-2\vec{c}\cdot\vec{a}=14 $$

となり、

$$ \vec{c}\cdot\vec{a}=10 $$

である。

三角形 $OAB$ の面積

三角形 $OAB$ の面積を $S$ とすると、

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} $$

である。

ここで、

$$ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2 =25\cdot 10-5^2 =250-25 =225 $$

より、

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{225}=\frac{15}{2} $$

である。

$CH$ の長さ

点 $H$ は平面 $OAB$ 上にあるから、実数 $s,t$ を用いて

$$ \vec{OH}=s\vec{a}+t\vec{b} $$

とおける。

線分 $CH$ が平面 $OAB$ に垂直であることは、$\vec{CH}$ が平面上の2つの独立な方向ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の両方に垂直であることと同値である。

$$ \vec{CH}=\vec{OH}-\vec{OC}=s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c} $$

であるから、

$$ (s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{a}=0 $$

かつ

$$ (s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{b}=0 $$

である。

これに、すでに求めた内積を代入すると、

$$ 25s+5t-10=0 $$

$$ 5s+10t-5=0 $$

となる。すなわち、

$$ 5s+t=2 $$

$$ s+2t=1 $$

である。

これを解くと、

$$ s=\frac{1}{3},\quad t=\frac{1}{3} $$

である。よって

$$ \vec{OH}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}) $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} |\vec{OH}|^2 &= \frac{1}{9}|\vec{a}+\vec{b}|^2\\ &= \frac{1}{9}\left(|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\right) \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} |\vec{OH}|^2 &= \frac{1}{9}(25+2\cdot 5+10)\\ &= \frac{45}{9}\\ &= 5 \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \vec{OC}\cdot\vec{OH} &= \vec{c}\cdot \frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})\\ &= \frac{1}{3}(\vec{c}\cdot\vec{a}+\vec{c}\cdot\vec{b})\\ &= \frac{1}{3}(10+5)\\ &= 5 \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} CH^2 &= |\vec{c}-\vec{OH}|^2\\ &= |\vec{c}|^2-2\vec{c}\cdot\vec{OH}+|\vec{OH}|^2 \end{aligned} $$

だから、

$$ CH^2=9-2\cdot 5+5=4 $$

となる。したがって、

$$ CH=2 $$

である。

四面体 $OABC$ の体積

三角形 $OAB$ を底面とすると、高さは $CH=2$ である。

したがって、四面体 $OABC$ の体積 $V$ は

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{15}{2}\cdot 2=5 $$

である。

解説

この問題では、与えられた6辺の長さから内積を復元することが基本である。空間図形の問題であっても、辺の長さが十分に与えられている場合は、座標を直接置くよりも内積で処理する方が計算が整理される。

点 $C$ から平面 $OAB$ への距離を求める部分では、垂線の足 $H$ を平面上の点として

$$ \vec{OH}=s\vec{a}+t\vec{b} $$

と表すのが重要である。そのうえで、$\vec{CH}$ が平面 $OAB$ に垂直である条件を

$$ \vec{CH}\cdot\vec{a}=0,\quad \vec{CH}\cdot\vec{b}=0 $$

と翻訳すれば、未知数 $s,t$ の連立方程式に帰着する。

体積は、底面積と高さが求まれば

$$ \frac{1}{3}\times \text{底面積}\times \text{高さ} $$

で求められる。

答え

(1)

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=5,\quad \vec{b}\cdot\vec{c}=5,\quad \vec{c}\cdot\vec{a}=10 $$

(2)

$$ \frac{15}{2} $$

(3)

$$ CH=2 $$

(4)

$$ 5 $$