数学C 空間ベクトル 問題 118 解説

方針・初手

直線 $\ell$ 上の点を媒介変数で表し、その点を $H$ とおく。垂線の足であるためには、$\overrightarrow{CH}$ が直線 $\ell$ の方向ベクトルに垂直であればよい。

解法1

直線 $\ell$ は点 $A(-3,-1,1)$、$B(-1,0,0)$ を通るので、方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(2,1,-1) $$

である。

したがって、直線 $\ell$ 上の点 $H$ は実数 $t$ を用いて

$$ H=A+t\overrightarrow{AB} $$

と表せる。すなわち

$$ H=(-3+2t,-1+t,1-t) $$

である。

点 $C(2,3,3)$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線の足が $H$ であるから、$\overrightarrow{CH}$ は直線 $\ell$ の方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ に垂直である。よって

$$ \overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0 $$

が成り立つ。

ここで

$$ \overrightarrow{CH}=H-C=(-3+2t-2,-1+t-3,1-t-3) $$

より

$$ \overrightarrow{CH}=(-5+2t,-4+t,-2-t) $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB} &=(-5+2t)\cdot 2+(-4+t)\cdot 1+(-2-t)\cdot(-1) \\ &=-10+4t-4+t+2+t \\ &=6t-12 \end{aligned} $$

である。

垂直条件より

$$ 6t-12=0 $$

となるから、

$$ t=2 $$

である。

これを $H=(-3+2t,-1+t,1-t)$ に代入すると、

$$ H=(-3+4,-1+2,1-2) $$

より

$$ H=(1,1,-1) $$

である。

解説

直線上の点を $A+t\overrightarrow{AB}$ と表すと、垂線の足の条件は「$CH$ が直線の方向ベクトルに垂直」として内積で処理できる。

この問題では、垂直条件を座標で直接立てるよりも、まず直線の方向ベクトルを求め、直線上の一般点を置くのが最も自然である。最後に得た点が直線上にあることは、$t=2$ を代入しているため自動的に満たされる。

答え

$$ H=(1,1,-1) $$