数学C 空間ベクトル 問題 119 解説

方針・初手

直線 $AB$ 上の点と直線 $OC$ 上の点をそれぞれ媒介変数で表す。

直線 $AB$ は $A(4,0,0)$ から $B(0,4,0)$ へ向かうので、点 $P$ は

$$ P=(4-4s,4s,0) $$

と表せる。また、直線 $OC$ は原点 $O$ と $C(1,1,\sqrt{6})$ を通るので、点 $Q$ は

$$ Q=(t,t,\sqrt{6}t) $$

と表せる。

この表し方を用いて、交点の有無、距離の最小値、正三角形の条件を調べる。

解法1

まず、直線 $AB$ と直線 $OC$ が交わると仮定する。

交点があるならば、ある実数 $s,t$ によって

$$ (4-4s,4s,0)=(t,t,\sqrt{6}t) $$

が成り立つ。

各成分を比較すると、

$$ 4-4s=t,\qquad 4s=t,\qquad 0=\sqrt{6}t $$

である。第3式から $t=0$ となる。

このとき、第1式と第2式は

$$ 4-4s=0,\qquad 4s=0 $$

となる。したがって

$$ s=1,\qquad s=0 $$

を同時に満たす必要があり、これは不可能である。

よって、直線 $AB$ と直線 $OC$ は交わらない。

次に、$P=(4-4s,4s,0)$、$Q=(t,t,\sqrt{6}t)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=(4-4s-t)^2+(4s-t)^2+(\sqrt{6}t)^2 \\ &=(4-4s-t)^2+(4s-t)^2+6t^2 \end{aligned} $$

である。これを整理する。

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=32s^2-32s+16+8t^2-8t \\ &=32\left(s-\frac12\right)^2+8\left(t-\frac12\right)^2+6 \end{aligned} $$

したがって、$PQ^2$ は

$$ s=\frac12,\qquad t=\frac12 $$

のとき最小となり、その最小値は

$$ PQ^2=6 $$

である。よって、

$$ PQ=\sqrt{6} $$

が最小値である。

このとき、

$$ P=\left(4-4\cdot\frac12,4\cdot\frac12,0\right)=(2,2,0) $$

であり、

$$ Q=\left(\frac12,\frac12,\frac{\sqrt{6}}2\right) $$

である。

最後に、点 $R$ を直線 $OC$ 上にとるので、

$$ R=(u,u,\sqrt{6}u) $$

とおく。

三角形 $ABR$ が正三角形となるためには、

$$ AB=AR=BR $$

が必要である。

まず、

$$ AB^2=(0-4)^2+(4-0)^2+0^2=32 $$

である。また、$R$ の第1成分と第2成分が等しいため、$A$ と $B$ に対する距離は等しく、

$$ AR^2=(u-4)^2+u^2+(\sqrt{6}u)^2 $$

となる。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} AR^2 &=(u-4)^2+u^2+6u^2 \\ &=(u-4)^2+7u^2 \\ &=8u^2-8u+16 \end{aligned} $$

である。

正三角形となるには $AR^2=AB^2$ であればよいから、

$$ 8u^2-8u+16=32 $$

である。これを解くと、

$$ \begin{aligned} 8u^2-8u-16&=0 \\ u^2-u-2&=0 \\ (u-2)(u+1)&=0 \end{aligned} $$

より、

$$ u=2,\ -1 $$

である。

したがって、求める点 $R$ は

$$ R=(2,2,2\sqrt{6}),\qquad R=(-1,-1,-\sqrt{6}) $$

である。

解説

直線上の点を媒介変数で表すことが基本である。

(1) では、交点が存在すると仮定して成分比較を行う。第3成分から $t=0$ が出るが、その結果 $s=1$ と $s=0$ を同時に要求されるため矛盾する。

(2) では、$PQ$ そのものではなく $PQ^2$ を最小化する。平方完成により、$s,t$ が独立に決まり、最短距離とそのときの点が同時に求まる。

(3) では、$R$ が直線 $OC$ 上にあることから $R=(u,u,\sqrt{6}u)$ とおく。すると $R$ は $x=y$ を満たすため、$AR=BR$ は自動的に成り立つ。あとは $AR=AB$ を課せば正三角形の条件になる。

答え

(1)

直線 $AB$ と直線 $OC$ は交わらない。

(2)

$$ PQ_{\min}=\sqrt{6} $$

そのとき、

$$ P=(2,2,0),\qquad Q=\left(\frac12,\frac12,\frac{\sqrt{6}}2\right) $$

である。

(3)

$$ R=(2,2,2\sqrt{6}),\qquad R=(-1,-1,-\sqrt{6}) $$