数学C 空間ベクトル 問題 120 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は互いに直交するので，これらを座標軸にとる。

$$ O=(0,0,0),\quad A=(3,0,0),\quad B=(0,t,0),\quad C=(0,0,4) $$

とおく。このとき

$$ P=(3x,ty,4z) $$

である。角が等しい条件は，対応する余弦が等しいことに直して処理する。

解法1

(1)

$\angle AOP,\angle BOP,\angle COP$ は，それぞれ $OP$ と $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸の正方向とのなす角である。

$OP=(3x,ty,4z)$ であり，$x,y,z$ は正であるから，3つの角が等しいためには，3方向への正の成分が等しければよい。すなわち

$$ 3x=ty=4z $$

である。

よって

$$ y=\frac{3x}{t},\quad z=\frac{3x}{4} $$

を得る。

(2)

今度は点 $A$ を頂点とする角で考える。各ベクトルは

$$ \overrightarrow{AO}=(-3,0,0),\quad \overrightarrow{AB}=(-3,t,0),\quad \overrightarrow{AC}=(-3,0,4) $$

また

$$ \overrightarrow{AP}=P-A=(3x-3,ty,4z) $$

である。

まず $\angle OAP$ の余弦は

$$ \begin{aligned} \cos\angle OAP &= \frac{\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AO}|,|\overrightarrow{AP}|}\\ &= \frac{9(1-x)}{3|\overrightarrow{AP}|}\\ &= \frac{3(1-x)}{|\overrightarrow{AP}|} \end{aligned} $$

である。

次に

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} &= (-3,t,0)\cdot(3x-3,ty,4z)\\ &= 9(1-x)+t^2y \end{aligned} $$

かつ

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+t^2} $$

より

$$ \cos\angle BAP = \frac{9(1-x)+t^2y}{\sqrt{9+t^2},|\overrightarrow{AP}|} $$

である。

さらに

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AP} &= (-3,0,4)\cdot(3x-3,ty,4z)\\ &= 9(1-x)+16z \end{aligned} $$

かつ

$$ |\overrightarrow{AC}|=5 $$

より

$$ \cos\angle CAP = \frac{9(1-x)+16z}{5|\overrightarrow{AP}|} $$

である。

したがって

$$ \angle OAP=\angle BAP=\angle CAP $$

であることは

$$ \begin{aligned} \frac{3(1-x)}{|\overrightarrow{AP}|} &= \frac{9(1-x)+t^2y}{\sqrt{9+t^2},|\overrightarrow{AP}|}\\ &= \frac{9(1-x)+16z}{5|\overrightarrow{AP}|} \end{aligned} $$

と同値である。

$|\overrightarrow{AP}|>0$ だから，まず

$$ \frac{9(1-x)+t^2y}{\sqrt{9+t^2}} = 3(1-x) $$

より

$$ 9(1-x)+t^2y = 3(1-x)\sqrt{9+t^2} $$

したがって

$$ t^2y = 3(1-x)\left(\sqrt{9+t^2}-3\right) $$

である。ここで

$$ \sqrt{9+t^2}-3 = \frac{t^2}{\sqrt{9+t^2}+3} $$

だから

$$ y = \frac{3(1-x)}{\sqrt{9+t^2}+3} $$

を得る。

また

$$ \frac{9(1-x)+16z}{5} = 3(1-x) $$

より

$$ 9(1-x)+16z=15(1-x) $$

したがって

$$ 16z=6(1-x) $$

であるから

$$ z=\frac{3(1-x)}{8} $$

を得る。

なお，$y,z$ は正であるから，この場合には $x<1$ が必要である。

(3)

(1)

と （2） の条件を同時に満たすには

$$ \frac{3x}{t} = \frac{3(1-x)}{\sqrt{9+t^2}+3}, \quad \frac{3x}{4} = \frac{3(1-x)}{8} $$

が成り立てばよい。

まず第2式から

$$ \frac{x}{4}=\frac{1-x}{8} $$

である。よって

$$ 2x=1-x $$

となるから

$$ x=\frac{1}{3} $$

である。

これを第1式に代入すると

$$ \frac{1}{t} = \frac{2}{\sqrt{9+t^2}+3} $$

となる。したがって

$$ \sqrt{9+t^2}+3=2t $$

である。

よって

$$ \sqrt{9+t^2}=2t-3 $$

であるから，右辺が正であることに注意して両辺を2乗すると

$$ 9+t^2=(2t-3)^2 $$

すなわち

$$ 9+t^2=4t^2-12t+9 $$

である。

整理して

$$ 3t^2-12t=0 $$

より

$$ 3t(t-4)=0 $$

である。$t>0$ だから

$$ t=4 $$

を得る。

このとき

$$ x=\frac{1}{3},\quad y=\frac{3x}{t}=\frac{1}{4},\quad z=\frac{3x}{4}=\frac{1}{4} $$

となり，いずれも正である。したがって条件を満たす $t$ は確かに存在し，その値は $4$ である。

解説

この問題の要点は，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ が互いに直交しているため，座標軸として扱える点である。

ただし，$P$ の座標は $(x,y,z)$ ではなく

$$ P=(3x,ty,4z) $$

である。ここを取り違えると (1) の式がずれる。

(1)

は点 $O$ を頂点とする角なので，$OP$ の方向余弦をそろえればよい。一方，（2） は点 $A$ を頂点とする角であり，$AO,AB,AC$ の長さがそれぞれ異なる。そのため，内積を使って余弦を直接比較するのが最も安全である。

答え

(1)

$$ y=\frac{3x}{t},\quad z=\frac{3x}{4} $$

(2)

$$ y=\frac{3(1-x)}{\sqrt{9+t^2}+3},\quad z=\frac{3(1-x)}{8} $$

ただし，正の $y,z$ が必要なので $x<1$ である。

(3)

$$ t=4 $$