数学C 空間ベクトル 問題 121 解説

方針・初手

点 $A$ を基準にして、各点の位置ベクトルを $\overrightarrow{AB}=\vec{k}$、$\overrightarrow{AD}=\vec{\ell}$、$\overrightarrow{AP}=\vec{m}$ で表す。

底面 $ABCD$ は正方形で、すべての辺の長さが $1$ であるから、

$$ |\vec{k}|=|\vec{\ell}|=|\vec{m}|=1,\qquad \vec{k}\cdot \vec{\ell}=0 $$

である。また $PB=PD=1$ より、$\vec{k}\cdot\vec{m}$、$\vec{\ell}\cdot\vec{m}$ を求めておくことが初手である。

解法1

$PB=1$ であり、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PB} &= \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}\\ &= \vec{k}-\vec{m} \end{aligned} $$

だから、

$$ |\vec{k}-\vec{m}|^2=1 $$

である。よって、

$$ |\vec{k}|^2-2\vec{k}\cdot\vec{m}+|\vec{m}|^2=1 $$

となる。$|\vec{k}|=|\vec{m}|=1$ より、

$$ 1-2\vec{k}\cdot\vec{m}+1=1 $$

したがって、

$$ \vec{k}\cdot\vec{m}=\frac{1}{2} $$

である。同様に、$PD=1$ かつ $\overrightarrow{PD}=\vec{\ell}-\vec{m}$ より、

$$ \vec{\ell}\cdot\vec{m}=\frac{1}{2} $$

である。

(1)

$C$ は正方形の頂点であるから、

$$ \overrightarrow{AC}=\vec{k}+\vec{\ell} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PC} &= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}\\ &= \vec{k}+\vec{\ell}-\vec{m} \end{aligned} $$

となる。

(2)

$$ \overrightarrow{PA}=-\vec{m} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC} &= (-\vec{m})\cdot(\vec{k}+\vec{\ell}-\vec{m})\\ &= -\vec{m}\cdot\vec{k}-\vec{m}\cdot\vec{\ell}+|\vec{m}|^2\\ &= -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\\ &= 0 \end{aligned} $$

である。

(3)

$R$ は $PB$ の中点、$S$ は $PD$ の中点であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AR} &= \frac{\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}}{2}\\ &= \frac{\vec{m}+\vec{k}}{2} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AS} &= \frac{\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AD}}{2}\\ &= \frac{\vec{m}+\vec{\ell}}{2} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{RS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AR}\\ &= \frac{\vec{m}+\vec{\ell}}{2}-\frac{\vec{m}+\vec{k}}{2}\\ &= \frac{1}{2}(\vec{\ell}-\vec{k}) \end{aligned} $$

となる。

(4)

点 $T$ は辺 $PC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AT} &= \overrightarrow{AP}+t\overrightarrow{PC}\\ &= \vec{m}+t(\vec{k}+\vec{\ell}-\vec{m}) \end{aligned} $$

と表せる。すなわち、

$$ \overrightarrow{AT} = t\vec{k}+t\vec{\ell}+(1-t)\vec{m} $$

である。

一方、$T$ は平面 $ARS$ 上にあり、平面 $ARS$ は $\overrightarrow{AR}$ と $\overrightarrow{AS}$ で張られるから、実数 $x,y$ を用いて

$$ \overrightarrow{AT} = x(\vec{k}+\vec{m})+y(\vec{\ell}+\vec{m}) $$

と表せる。よって、

$$ \overrightarrow{AT} = x\vec{k}+y\vec{\ell}+(x+y)\vec{m} $$

である。

$\vec{k},\vec{\ell},\vec{m}$ は一次独立であるから、係数を比較して、

$$ x=t,\qquad y=t,\qquad x+y=1-t $$

を得る。したがって、

$$ 2t=1-t $$

より、

$$ t=\frac{1}{3} $$

である。ゆえに、

$$ \overrightarrow{AT} = \frac{1}{3}\vec{k} + \frac{1}{3}\vec{\ell} + \frac{2}{3}\vec{m} $$

となる。

解説

この問題では、まず四角錐の辺の長さがすべて $1$ であることから、$\vec{k},\vec{\ell},\vec{m}$ の内積関係を整理することが重要である。

特に、

$$ |\vec{k}-\vec{m}|=1,\qquad |\vec{\ell}-\vec{m}|=1 $$

から

$$ \vec{k}\cdot\vec{m}=\vec{\ell}\cdot\vec{m}=\frac{1}{2} $$

を得る点が中心である。

また、平面と直線の交点を求める問題では、点 $T$ を「直線 $PC$ 上の点」として表す式と、「平面 $ARS$ 上の点」として表す式を立て、係数比較するのが標準的である。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{PC} = \vec{k}+\vec{\ell}-\vec{m} $$

(2)

$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=0 $$

(3)

$$ \overrightarrow{RS} = \frac{1}{2}(\vec{\ell}-\vec{k}) $$

(4)

$$ \overrightarrow{AT} = \frac{1}{3}\vec{k} + \frac{1}{3}\vec{\ell} + \frac{2}{3}\vec{m} $$