数学C 空間ベクトル 問題 122 解説

方針・初手

等距離条件は、点 $P$ について $OP=AP$ なら

$$ \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{OA^2}{2} $$

の形に直せる。これにより、まず $\overrightarrow{OD}$ の係数 $s,t$ を求める。

また、平面があるベクトルに垂直であるという条件は、そのベクトルが平面の法線ベクトルであることを意味する。したがって、平面上の2点を結ぶベクトルと法線ベクトルの内積は $0$ である。

解法1

与えられた条件より、内積は

$$ \vec a\cdot \vec a=9,\quad \vec b\cdot \vec b=16,\quad \vec c\cdot \vec c=25 $$

であり、

$$ \vec a\cdot \vec b=0,\quad \vec a\cdot \vec c=0,\quad \vec b\cdot \vec c=4\cdot 5\cos 60^\circ=10 $$

である。

(1)

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\vec a+s\vec b+t\vec c $$

とする。$D$ は $O,A,B,C$ から等距離にあるので、特に

$$ OD=BD,\quad OD=CD $$

が成り立つ。

まず $OD=BD$ より、

$$ |\overrightarrow{OD}|^2=|\overrightarrow{OD}-\vec b|^2 $$

である。右辺を展開すると、

$$ |\overrightarrow{OD}|^2 = |\overrightarrow{OD}|^2-2\overrightarrow{OD}\cdot \vec b+|\vec b|^2 $$

だから、

$$ \overrightarrow{OD}\cdot \vec b=\frac{|\vec b|^2}{2}=8 $$

となる。一方、

$$ \overrightarrow{OD}\cdot \vec b = \left(\frac{1}{2}\vec a+s\vec b+t\vec c\right)\cdot \vec b 16s+10t $$

であるから、

$$ 16s+10t=8 $$

を得る。

同様に $OD=CD$ より、

$$ \overrightarrow{OD}\cdot \vec c=\frac{|\vec c|^2}{2}=\frac{25}{2} $$

である。一方、

$$ \overrightarrow{OD}\cdot \vec c = \left(\frac{1}{2}\vec a+s\vec b+t\vec c\right)\cdot \vec c 10s+25t $$

であるから、

$$ 10s+25t=\frac{25}{2} $$

を得る。

したがって

$$ \begin{cases} 16s+10t=8,\\ 10s+25t=\dfrac{25}{2} \end{cases} $$

を解けばよい。これより

$$ s=\frac{1}{4},\quad t=\frac{2}{5} $$

である。

(2)

$$ \overrightarrow{OM}=x\vec a+y\vec b+z\vec c $$

とする。

辺 $AB$ の中点を $E$ とすると、

$$ \overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b) $$

である。

平面 $H$ は $\vec c$ に垂直で、点 $E$ と点 $M$ はともに平面 $H$ 上にある。したがって、平面 $H$ 上のベクトル $\overrightarrow{EM}$ は $\vec c$ と垂直であるから、

$$ \overrightarrow{EM}\cdot \vec c=0 $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{EM} &= \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OE}\\ &= x\vec a+y\vec b+z\vec c-\frac{1}{2}(\vec a+\vec b) \end{aligned} $$

だから、

$$ \left\{x\vec a+y\vec b+z\vec c-\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)\right\}\cdot \vec c=0 $$

となる。内積を計算すると、

$$ 10y+25z-\frac{1}{2}\cdot 10=0 $$

である。よって

$$ 10y+25z=5 $$

すなわち

$$ 2y+5z=1 $$

である。

(3)

点 $M$ は平面 $H,I,J$ の共通点であるから、それぞれの平面条件を用いる。

まず平面 $I$ は $\vec a$ に垂直で、辺 $BC$ の中点を通る。辺 $BC$ の中点を $N$ とすると、

$$ \overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\vec b+\vec c) $$

である。$M,N$ は平面 $I$ 上にあるから、

$$ \overrightarrow{NM}\cdot \vec a=0 $$

である。したがって

$$ \left\{x\vec a+y\vec b+z\vec c-\frac{1}{2}(\vec b+\vec c)\right\}\cdot \vec a=0 $$

となる。$\vec a\cdot \vec b=\vec a\cdot \vec c=0$ より、

$$ 9x=0 $$

であるから、

$$ x=0 $$

を得る。

次に平面 $J$ は $\vec b$ に垂直で、辺 $AC$ の中点を通る。辺 $AC$ の中点を $P$ とすると、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec c) $$

である。$M,P$ は平面 $J$ 上にあるから、

$$ \overrightarrow{PM}\cdot \vec b=0 $$

である。したがって

$$ \left\{x\vec a+y\vec b+z\vec c-\frac{1}{2}(\vec a+\vec c)\right\}\cdot \vec b=0 $$

となる。内積を計算すると、

$$ 16y+10z-\frac{1}{2}\cdot 10=0 $$

であるから、

$$ 16y+10z=5 $$

を得る。

(2)

で得た式

$$ 2y+5z=1 $$

とあわせて、

$$ \begin{cases} 2y+5z=1,\\ 16y+10z=5 \end{cases} $$

を解く。これより

$$ y=\frac{1}{4},\quad z=\frac{1}{10} $$

である。

また $x=0$ だから、

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{4}\vec b+\frac{1}{10}\vec c $$

である。

(4)

三角形 $ABC$ の重心を $G$ とすると、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\vec a+\vec b+\vec c) $$

である。

点 $F$ は辺 $OG$ を $3:1$ に内分するので、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{OG}\\ &= \frac{1}{4}(\vec a+\vec b+\vec c) \end{aligned} $$

である。

一方、

$$ \overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{4}\vec b+\frac{2}{5}\vec c $$

かつ

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{4}\vec b+\frac{1}{10}\vec c $$

である。これらの和をとると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OM} &= \frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c\\ &= \frac{1}{2}(\vec a+\vec b+\vec c) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OM}\right) &= \frac{1}{4}(\vec a+\vec b+\vec c)\\ &= \overrightarrow{OF} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \overrightarrow{OF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OM} $$

である。

解説

この問題の中心は、空間図形を座標化せずに内積だけで処理する点にある。

等距離条件は、たとえば $OD=BD$ をそのまま距離計算するのではなく、

$$ |\overrightarrow{OD}|^2=|\overrightarrow{OD}-\vec b|^2 $$

とおいて展開することで、

$$ \overrightarrow{OD}\cdot \vec b=\frac{|\vec b|^2}{2} $$

という一次式に変わる。これにより、$s,t$ を連立一次方程式で求められる。

また、平面があるベクトルに垂直であるという条件は、そのベクトルが平面の法線ベクトルであるという意味である。したがって、平面上の2点を結ぶベクトルと法線ベクトルの内積を $0$ とおけばよい。

最後の (4) は、$\overrightarrow{OF}$ をいったん $\vec a,\vec b,\vec c$ で表し、すでに求めた $\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OM}$ の係数と比較するのが最も簡潔である。

答え

(1)

$$ s=\frac{1}{4},\quad t=\frac{2}{5} $$

(2)

$$ 2y+5z=1 $$

(3)

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{4}\vec b+\frac{1}{10}\vec c $$

(4)

$$ \overrightarrow{OF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OM} $$