数学C 空間ベクトル 問題 123 解説

方針・初手

半径 $1$ の球面上にあるので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ はすべて長さ $1$ のベクトルである。したがって、与えられた内積はそのまま角度や射影、体積計算に使える。

(1) は外積の大きさ、(2) は垂線の足の条件、(3) はスカラー三重積を用いる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。このとき

$$ |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1 $$

であり、条件より

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\frac12,\qquad \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\frac13,\qquad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=-\frac16 $$

である。

(1)

$\triangle OAB$ の面積は

$$ \frac12|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| $$

である。外積の大きさについて

$$ |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 $$

が成り立つので、

$$ \begin{aligned} |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2 &= 1\cdot 1-\left(\frac12\right)^2\\ &= \frac34 \end{aligned} $$

である。よって

$$ |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\frac{\sqrt3}{2} $$

となる。したがって、求める面積は

$$ \frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{4} $$

である。

(2)

点 $P$ は $\triangle OAB$ を含む平面上にあるから、

$$ \overrightarrow{OP}=a\mathbf{a}+b\mathbf{b} $$

と表せる。

また、$CP$ はこの平面に垂直であるから、ベクトル

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CP} &= \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}\\ &= a\mathbf{a}+b\mathbf{b}-\mathbf{c} \end{aligned} $$

は、平面上の独立な2つのベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ の両方に垂直である。よって

$$ (a\mathbf{a}+b\mathbf{b}-\mathbf{c})\cdot \mathbf{a}=0 $$

かつ

$$ (a\mathbf{a}+b\mathbf{b}-\mathbf{c})\cdot \mathbf{b}=0 $$

である。

それぞれ計算すると、

$$ a|\mathbf{a}|^2+b(\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})-\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}=0 $$

より

$$ a+\frac12 b-\frac13=0 $$

すなわち

$$ a+\frac12 b=\frac13 $$

である。

同様に、

$$ a(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})+b|\mathbf{b}|^2-\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}=0 $$

より

$$ \frac12 a+b-\left(-\frac16\right)=0 $$

すなわち

$$ \frac12 a+b=-\frac16 $$

である。

したがって連立方程式

$$ \begin{cases} a+\dfrac12 b=\dfrac13,\\ \dfrac12 a+b=-\dfrac16 \end{cases} $$

を解けばよい。両辺を $2$ 倍して

$$ \begin{cases} 2a+b=\dfrac23,\\ a+2b=-\dfrac13 \end{cases} $$

となる。第1式から $b=\dfrac23-2a$ であり、これを第2式に代入すると

$$ a+2\left(\frac23-2a\right)=-\frac13 $$

である。よって

$$ a+\frac43-4a=-\frac13 $$

より

$$ -3a=-\frac53 $$

となるから、

$$ a=\frac59 $$

である。これを $b=\dfrac23-2a$ に代入して

$$ b=\frac23-\frac{10}{9} = -\frac49 $$

を得る。

したがって

$$ a=\frac59,\qquad b=-\frac49 $$

である。

(3)

四面体 $OABC$ の体積は

$$ \frac16 |(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}| $$

である。

ここで、スカラー三重積の2乗は、3つのベクトルのグラム行列の行列式に等しい。すなわち

$$ {(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}}^2 = \begin{vmatrix} \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} & \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\\ \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\\ \mathbf{c}\cdot\mathbf{a} & \mathbf{c}\cdot\mathbf{b} & \mathbf{c}\cdot\mathbf{c} \end{vmatrix} $$

である。

条件を代入すると、

$$ {(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}}^2 = \begin{vmatrix} 1 & \dfrac12 & \dfrac13\\ \dfrac12 & 1 & -\dfrac16\\ \dfrac13 & -\dfrac16 & 1 \end{vmatrix} $$

である。この行列式を計算する。

3つの単位ベクトルの相互内積を

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x,\qquad \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=y,\qquad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=z $$

とおくと、対応するグラム行列の行列式は

$$ 1+2xyz-x^2-y^2-z^2 $$

である。ここでは

$$ x=\frac12,\qquad y=\frac13,\qquad z=-\frac16 $$

だから、

$$ \begin{aligned} 1+2xyz-x^2-y^2-z^2 &= 1+2\cdot \frac12\cdot \frac13\cdot\left(-\frac16\right) -\left(\frac12\right)^2 -\left(\frac13\right)^2 -\left(-\frac16\right)^2\\ &= 1-\frac1{18}-\frac14-\frac19-\frac1{36}\\ &= 1-\frac1{18}-\frac7{18}\\ &= \frac59 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} |(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}| &= \sqrt{\frac59}\\ &= \frac{\sqrt5}{3} \end{aligned} $$

となる。

よって四面体 $OABC$ の体積は

$$ \frac16\cdot \frac{\sqrt5}{3} = \frac{\sqrt5}{18} $$

である。

解説

この問題では、球面上の点であることから $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ が単位ベクトルである点が出発点になる。

(1) は面積を外積の大きさで処理する典型問題である。内積が与えられているので、

$$ |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 $$

を使えばよい。

(2) は垂線の足の問題である。点 $P$ が平面 $OAB$ 上にあることから $\overrightarrow{OP}=a\mathbf{a}+b\mathbf{b}$ とおき、垂直条件を $\mathbf{a},\mathbf{b}$ との内積が $0$ であることに翻訳する。

(3) は四面体の体積をスカラー三重積で求める。座標を具体的に設定しなくても、内積だけからグラム行列を作れば体積が計算できる。

答え

(1)

$$ \frac{\sqrt3}{4} $$

(2)

$$ a=\frac59,\qquad b=-\frac49 $$

(3)

$$ \frac{\sqrt5}{18} $$