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数学C 空間ベクトル問題 137 解説

方針・初手

$O$ を原点とし、$\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}$ を基底として考える。$O,A,B,C$ が同一平面上にないので、これらの3つのベクトルは一次独立である。

2直線 $PX,QY$ がねじれの位置にある条件は、それぞれの方向ベクトルと、2直線上の1点ずつを結ぶベクトルが一次独立であることである。

解法1

$$ \vec{OA}=\mathbf{a},\quad \vec{OB}=\mathbf{b},\quad \vec{OC}=\mathbf{c} $$

とおく。$O,A,B,C$ は同一平面上にないから、$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ は一次独立である。

$P,Q,X,Y$ はそれぞれ

$$ \vec{OP}=\frac{1}{2}\mathbf{a},\quad \vec{OQ}=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b} $$

であり、また

$$ \vec{OX}=x\mathbf{c} $$

である。さらに、$\vec{BY}=y\vec{BC}$ より

$$ \begin{aligned} \vec{OY} &= \vec{OB}+\vec{BY}\\ &= \mathbf{b}+y(\mathbf{c}-\mathbf{b})\\ &= (1-y)\mathbf{b}+y\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。

したがって、直線 $PX$ の方向ベクトルは

$$ \vec{PX} = \vec{OX}-\vec{OP} -\frac{1}{2}\mathbf{a}+x\mathbf{c} $$

である。また、直線 $QY$ の方向ベクトルは

$$ \begin{aligned} \vec{QY} &= \vec{OY}-\vec{OQ} \\ &= (1-y)\mathbf{b}+y\mathbf{c} -\left(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}\right) \\ &= -\frac{1}{2}\mathbf{a} +\left(\frac{1}{2}-y\right)\mathbf{b} +y\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。

さらに、2直線上の点 $P,Q$ を結ぶベクトルは

$$ \begin{aligned} \vec{PQ} &= \vec{OQ}-\vec{OP}\\ &= \frac{1}{2}\mathbf{b} \end{aligned} $$

である。

2直線 $PX,QY$ がねじれの位置にあるための必要十分条件は、3つのベクトル

$$ \vec{PX},\quad \vec{QY},\quad \vec{PQ} $$

が一次独立であることである。

基底 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ に関する成分で書くと、

$$ \vec{PX} = \left(-\frac{1}{2},0,x\right), \quad \vec{QY} = \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}-y,y\right), \quad \vec{PQ} = \left(0,\frac{1}{2},0\right) $$

である。これらを列ベクトルとして並べた行列式を計算すると、

$$ \begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}-y & \frac{1}{2} \\ x & y & 0 \end{vmatrix} = \frac{y-x}{4} $$

である。

よって、3つのベクトルが一次独立であることと

$$ \frac{y-x}{4}\neq 0 $$

は同値である。したがって、

$$ x\neq y $$

が求める必要十分条件である。