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数学C 空間ベクトル問題 138 解説

方針・初手

正四面体なので、$\triangle ABC$ は1辺の長さが $1$ の正三角形である。したがって

$$ |\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec b\cdot \vec c=\frac{1}{2} $$

を基本にして、点 $G,D,E$ を $\vec b,\vec c$ で表す。

また、(4) では $\overrightarrow{GE}\perp \overrightarrow{GD}$ を利用し、$\triangle DGP$ の面積を「底辺 $GD$ と、直線 $GD$ から点 $P$ までの距離」で表す。

解法1

(1)

$G$ は $\triangle ABC$ の重心であるから、

$$ \overrightarrow{AG} =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3} =\frac{\vec b+\vec c}{3} $$

である。

(2)

$D$ は線分 $BC$ を $1:3$ に内分する点であるから、$BD:DC=1:3$ である。よって

$$ \overrightarrow{BD} =\frac{1}{4}\overrightarrow{BC} =\frac{1}{4}(\vec c-\vec b) $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} =\vec b+\frac{1}{4}(\vec c-\vec b) =\frac{3}{4}\vec b+\frac{1}{4}\vec c $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{GD} &=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG} \\ &=\left(\frac{3}{4}\vec b+\frac{1}{4}\vec c\right)-\frac{\vec b+\vec c}{3} \\ &=\frac{5}{12}\vec b-\frac{1}{12}\vec c \\ &=\frac{5\vec b-\vec c}{12} \end{aligned} $$

である。

次に、$E$ は直線 $AB$ 上の点であるから、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AE}=t\vec b $$

とおける。このとき

$$ \overrightarrow{GE} =\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AG} =t\vec b-\frac{\vec b+\vec c}{3} =\left(t-\frac{1}{3}\right)\vec b-\frac{1}{3}\vec c $$

である。

条件 $\overrightarrow{GD}\perp \overrightarrow{GE}$ より、

$$ \overrightarrow{GD}\cdot \overrightarrow{GE}=0 $$

である。ここで

$$ |\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec b\cdot \vec c=\frac{1}{2} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} 0 &=(5\vec b-\vec c)\cdot\left\{\left(t-\frac{1}{3}\right)\vec b-\frac{1}{3}\vec c\right\} \\ &=5\left(t-\frac{1}{3}\right)-\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2} -\left(t-\frac{1}{3}\right)\frac{1}{2} +\frac{1}{3} \\ &=\frac{9}{2}t-2 \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ t=\frac{4}{9} $$

である。ゆえに

$$ \overrightarrow{GE} =\left(\frac{4}{9}-\frac{1}{3}\right)\vec b-\frac{1}{3}\vec c =\frac{1}{9}\vec b-\frac{1}{3}\vec c =\frac{\vec b-3\vec c}{9} $$

である。

また、

$$ |\overrightarrow{GD}| =\frac{1}{12}|5\vec b-\vec c| $$

であり、

$$ \begin{aligned} |5\vec b-\vec c|^2 &=25|\vec b|^2-10\vec b\cdot \vec c+|\vec c|^2 \\ &=25-10\cdot\frac{1}{2}+1 \\ &=21 \end{aligned} $$

だから、

$$ |\overrightarrow{GD}|=\frac{\sqrt{21}}{12} $$

である。

同様に、

$$ |\overrightarrow{GE}| =\frac{1}{9}|\vec b-3\vec c| $$

であり、

$$ \begin{aligned} |\vec b-3\vec c|^2 &=|\vec b|^2-6\vec b\cdot \vec c+9|\vec c|^2 \\ &=1-6\cdot\frac{1}{2}+9 \\ &=7 \end{aligned} $$

だから、

$$ |\overrightarrow{GE}|=\frac{\sqrt{7}}{9} $$

である。

(3)

$\vec a=\overrightarrow{OA}$ とおく。このとき

$$ \overrightarrow{OB}=\vec a+\vec b,\qquad \overrightarrow{OC}=\vec a+\vec c $$

である。

正四面体の1辺の長さは $1$ なので、

$$ |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1 $$

である。したがって

が成り立つ。

これより

$$ |\vec a+\vec b|^2=1 $$

から

$$ |\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2=1 $$

である。$|\vec a|=|\vec b|=1$ より、

$$ 1+2\vec a\cdot\vec b+1=1 $$

となるので、

$$ \vec a\cdot\vec b=-\frac{1}{2} $$

である。同様に、

$$ \vec a\cdot\vec c=-\frac{1}{2} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OG} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG} =\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{3} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OG}\cdot\vec b &=\left(\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{3}\right)\cdot\vec b \\ &=\vec a\cdot\vec b+\frac{|\vec b|^2+\vec c\cdot\vec b}{3} \\ &=-\frac{1}{2}+\frac{1+\frac{1}{2}}{3} \\ &=0 \end{aligned} $$

である。

同様に、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OG}\cdot\vec c &=\left(\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{3}\right)\cdot\vec c \\ &=\vec a\cdot\vec c+\frac{\vec b\cdot\vec c+|\vec c|^2}{3} \\ &=-\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}+1}{3} \\ &=0 \end{aligned} $$

である。

(4)

$G,D,E$ はいずれも平面 $ABC$ 上にあり、$\overrightarrow{GE}\perp\overrightarrow{GD}$ である。

点 $P$ は直線 $GD$ によって平面 $ABC$ を2つに分けたとき、点 $E$ と同じ側にある。したがって、点 $P$ から直線 $GD$ までの距離は

$$ \frac{\overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE}}{|\overrightarrow{GE}|} $$

と表せる。ここで、同じ側にあるため、この値は正である。

$\triangle DGP$ の面積が $1$ であるから、

$$ 1 =\frac{1}{2}|\overrightarrow{GD}|\cdot \frac{\overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE}}{|\overrightarrow{GE}|} $$

である。よって

$$ \overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE} =\frac{2|\overrightarrow{GE}|}{|\overrightarrow{GD}|} $$

である。

(2) で求めた

$$ |\overrightarrow{GD}|=\frac{\sqrt{21}}{12},\qquad |\overrightarrow{GE}|=\frac{\sqrt{7}}{9} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE} &=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{7}}{9}}{\frac{\sqrt{21}}{12}} \\ &=\frac{24\sqrt{7}}{9\sqrt{21}} \\ &=\frac{8}{3\sqrt{3}} \\ &=\frac{8\sqrt{3}}{9} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OP} =\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GP} $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE} $$

である。

ここで

$$ \overrightarrow{GE}=\frac{\vec b-3\vec c}{9} $$

であり、(3) より

$$ \overrightarrow{OG}\cdot\vec b=0,\qquad \overrightarrow{OG}\cdot\vec c=0 $$

だから、

$$ \overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{GE}=0 $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE} =\overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE} =\frac{8\sqrt{3}}{9} $$

である。

解説

この問題では、$\vec b=\overrightarrow{AB}$、$\vec c=\overrightarrow{AC}$ を基準にして、平面 $ABC$ 上の点をすべて表すことが重要である。$\triangle ABC$ は正三角形なので、内積の基本情報は

$$ |\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec b\cdot\vec c=\frac{1}{2} $$

に集約される。

(2) では、$E$ が直線 $AB$ 上にあることから $\overrightarrow{AE}=t\vec b$ とおくのが自然である。あとは $\overrightarrow{GD}\perp\overrightarrow{GE}$ を内積 $0$ に翻訳すればよい。

(4) では、$P$ の位置そのものを求める必要はない。$\overrightarrow{GE}$ が $\overrightarrow{GD}$ に垂直であるため、$\overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE}$ が直線 $GD$ からの符号付き距離に対応する。点 $P$ が点 $E$ と同じ側にある条件によって符号が正に決まるため、面積条件から直接 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE}$ を求められる。