数学C 球面の方程式 問題 3 解説

方針・初手

2つの円は、それぞれ「球面」と「平面」の交わりである。したがって、求める球面の方程式を

$$ x^2+y^2+z^2+lx+my+nz+p=0 $$

の形で考えるよりも、まず既知の球面の方程式に平面の方程式の定数倍を加えて、同じ交わりの円を保つ形を使うのが自然である。

解法1

まず、$C_1$ を含む球面を考える。

もとの球面

$$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=10 $$

を展開すると、

$$ x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z-4=0 $$

である。

$C_1$ はこの球面と平面 $z=0$ の交わりなので、この球面の方程式に $z$ の定数倍を加えても、$z=0$ 上では同じ円 $C_1$ を通る。よって、$C_1$ を含む球面は

$$ x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z-4+\lambda z=0 $$

すなわち

$$ x^2+y^2+z^2-2x-4y+(\lambda-2)z-4=0 $$

と表せる。

次に、$C_2$ を含む球面を考える。

もとの球面

$$ x^2+y^2+(z-2)^2=16 $$

を展開すると、

$$ x^2+y^2+z^2-4z-12=0 $$

である。

$C_2$ はこの球面と平面

$$ x+2y+2z=4 $$

の交わりなので、この球面の方程式に $x+2y+2z-4$ の定数倍を加えても、$C_2$ 上では同じく成り立つ。よって、$C_2$ を含む球面は

$$ x^2+y^2+z^2-4z-12+\mu(x+2y+2z-4)=0 $$

と表せる。展開すると、

$$ x^2+y^2+z^2+\mu x+2\mu y+(-4+2\mu)z-12-4\mu=0 $$

である。

この球面が先ほどの $C_1$ を含む球面と一致するためには、各係数が一致すればよい。したがって、

$$ \mu=-2 $$

であり、このとき $y$ の係数も

$$ 2\mu=-4 $$

となって一致する。また、定数項は

$$ -12-4\mu=-12+8=-4 $$

となり、これも一致する。

$z$ の係数については、

$$ \lambda-2=-4+2\mu=-4-4=-8 $$

より、

$$ \lambda=-6 $$

である。

したがって、求める球面は

$$ x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z-4=0 $$

である。

平方完成すると、

$$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=25 $$

となる。

実際、この球面の左辺を

$$ F=x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z-4 $$

とおく。

$C_1$ を定める球面の左辺を

$$ F_1=x^2+y^2+z^2-2x-4y-2z-4 $$

とすると、

$$ F=F_1-6z $$

である。$C_1$ 上では $F_1=0,\ z=0$ だから、$F=0$ である。

また、$C_2$ を定める球面の左辺を

$$ F_2=x^2+y^2+z^2-4z-12 $$

とすると、

$$ F=F_2-2(x+2y+2z-4) $$

である。$C_2$ 上では $F_2=0,\ x+2y+2z-4=0$ だから、$F=0$ である。

よって、$C_1$ と $C_2$ はともに同じ球面

$$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=25 $$

上にある。

解法2

幾何的に球の中心を決めてもよい。

$C_1$ は

$$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=10,\quad z=0 $$

で定まる。$z=0$ を代入すると、

$$ (x-1)^2+(y-2)^2=9 $$

となるので、$C_1$ は中心 $(1,2,0)$、半径 $3$ の円である。

この円を含む球面の中心は、平面 $z=0$ に垂直で円の中心 $(1,2,0)$ を通る直線上にある。したがって、その中心は

$$ (1,2,t) $$

と表せる。

次に $C_2$ を見る。球面

$$ x^2+y^2+(z-2)^2=16 $$

の中心は $(0,0,2)$ である。また、

$$ 0+2\cdot 0+2\cdot 2=4 $$

より、この中心は平面 $x+2y+2z=4$ 上にある。したがって $C_2$ は中心 $(0,0,2)$、半径 $4$ の円である。

この円を含む球面の中心は、平面 $x+2y+2z=4$ に垂直で、円の中心 $(0,0,2)$ を通る直線上にある。この平面の法線ベクトルは $(1,2,2)$ なので、その中心は

$$ (0,0,2)+s(1,2,2) $$

と表せる。

したがって、求める球面の中心は

$$ (1,2,t)=(0,0,2)+s(1,2,2) $$

を満たす。成分を比較すると、

$$ s=1 $$

であり、

$$ t=2+2s=4 $$

となる。よって、中心は

$$ (1,2,4) $$

である。

この中心から平面 $z=0$ までの距離は $4$ であり、$C_1$ の半径は $3$ である。したがって、球の半径 $R$ は

$$ R^2=4^2+3^2=25 $$

より、

$$ R=5 $$

である。

よって求める球面は

$$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=25 $$

である。

解説

この問題の要点は、「同じ円を含む球面の族」をうまく扱うことである。

代数的には、球面と平面の交わりで定まる円に対して、球面の方程式に平面の方程式の定数倍を加えても、その交線上では値が変わらない。この性質を使うと、$C_1$ を含む球面の族と $C_2$ を含む球面の族をそれぞれ書き、係数比較だけで共通する球面を求められる。

幾何的には、円を含む球の中心は、その円の中心を通り円の存在する平面に垂直な直線上にある。この見方をすると、2本の直線の交点として球の中心が決まり、半径も直角三角形から求められる。

答え

$C_1$ と $C_2$ は同一球面上にある。

その球面の方程式は

$$ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=25 $$

である。