数学C 球面の方程式 問題 4 解説

方針・初手

外心 $P$ は、平面 $\alpha$ 上にあり、$A,B,C$ から等距離にある点である。まず平面 $\alpha$ の方程式を求め、そのうえで

$$ PA=PB,\quad PA=PC $$

を用いて $P$ を決定する。

また、球面が平面 $\alpha$ と点 $P$ で接するなら、球面の中心は $P$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な直線上にある。

解法1

まず、平面 $\alpha$ の方程式を求める。

$$ \overrightarrow{AB}=(0,2,0),\quad \overrightarrow{AC}=(-2,0,4) $$

であるから、平面 $\alpha$ の法線ベクトルは

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = (8,0,4) $$

である。よって、法線ベクトルとして $(2,0,1)$ をとれる。

平面 $\alpha$ は点 $A(2,0,0)$ を通るので、

$$ 2(x-2)+z=0 $$

すなわち

$$ 2x+z-4=0 $$

である。

(1)

外心を $P(x,y,z)$ とおく。外心は平面 $\alpha$ 上にあるから、

$$ 2x+z-4=0 $$

を満たす。

また、$PA=PB$ より、

$$ (x-2)^2+y^2+z^2=(x-2)^2+(y-2)^2+z^2 $$

したがって、

$$ y^2=(y-2)^2 $$

より

$$ y=1 $$

である。

次に、$PA=PC$ より、

$$ (x-2)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(z-4)^2 $$

したがって、

$$ (x-2)^2+z^2=x^2+(z-4)^2 $$

これを整理すると、

$$ x-2z+3=0 $$

である。

よって、

$$ x=2z-3 $$

これを平面 $\alpha$ の方程式 $2x+z-4=0$ に代入すると、

$$ 2(2z-3)+z-4=0 $$

すなわち

$$ 5z-10=0 $$

より

$$ z=2 $$

である。したがって、

$$ x=1 $$

となる。

よって、外心は

$$ P(1,1,2) $$

である。

外接円の半径は $PA$ であるから、

$$ PA=\sqrt{(1-2)^2+(1-0)^2+(2-0)^2} $$

より

$$ PA=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6} $$

である。

したがって、外接円の半径は

$$ \sqrt{6} $$

である。

(2)

球面が平面 $\alpha$ と点 $P$ で接するので、球面の中心は $P$ を通り、平面 $\alpha$ に垂直な直線上にある。

平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $(2,0,1)$ である。この長さは

$$ \sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5} $$

であるから、単位法線ベクトルは

$$ \pm \frac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1) $$

である。

球面の半径が $5$ なので、中心は $P$ から法線方向に距離 $5$ だけ離れた点である。したがって中心を $O$ とすると、

$$ O=P\pm 5\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1) $$

である。

$P(1,1,2)$ より、

$$ O=(1,1,2)\pm \sqrt{5}(2,0,1) $$

したがって、求める中心の座標は

$$ (1+2\sqrt{5},1,2+\sqrt{5}),\quad (1-2\sqrt{5},1,2-\sqrt{5}) $$

である。

解説

外心を求める問題では、空間内の三角形であっても、外心は必ず三角形のある平面上にある。そのため、$PA=PB,\ PA=PC$ だけでなく、平面 $\alpha$ 上にあるという条件を使う必要がある。

また、平面と球面が点 $P$ で接するとは、接点 $P$ における球の半径が平面に垂直であることを意味する。したがって、球の中心は平面 $\alpha$ の法線方向にある。半径が $5$ なので、法線方向に距離 $5$ だけ進めばよい。

答え

(1)

$$ P(1,1,2),\quad \text{外接円の半径 } \sqrt{6} $$

(2)

$$ (1+2\sqrt{5},1,2+\sqrt{5}),\quad (1-2\sqrt{5},1,2-\sqrt{5}) $$