数学C 楕円 問題 5 解説

方針・初手

だ円上の点は $x=2\cos\theta,\ y=3\sin\theta$ とおける。これにより、与式を $\sin 2\theta,\ \cos 2\theta$ の一次式に変形し、その最大・最小を調べる。

解法1

$x^2/4+y^2/9=1$ より、点 $P(x,y)$ は

$$ x=2\cos\theta,\quad y=3\sin\theta $$

と表せる。

このとき、与式を $Q$ とおくと、

$$ \begin{aligned} Q &=3x^2+\sqrt{8}xy+2y^2\\ &=3(2\cos\theta)^2+\sqrt{8}(2\cos\theta)(3\sin\theta)+2(3\sin\theta)^2\\ &=12\cos^2\theta+12\sqrt{2}\sin\theta\cos\theta+18\sin^2\theta. \end{aligned} $$

倍角公式を用いると、

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2},\quad \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\quad \sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} Q &=12\cdot\frac{1+\cos2\theta}{2} +12\sqrt{2}\cdot\frac{\sin2\theta}{2} +18\cdot\frac{1-\cos2\theta}{2}\\ &=15-3\cos2\theta+6\sqrt{2}\sin2\theta. \end{aligned} $$

ここで、

$$ -3\cos2\theta+6\sqrt{2}\sin2\theta $$

の最大値・最小値を考える。係数の大きさは

$$ \sqrt{(-3)^2+(6\sqrt{2})^2} =\sqrt{9+72} =9 $$

である。したがって、

$$ -9\leqq -3\cos2\theta+6\sqrt{2}\sin2\theta \leqq 9 $$

より、

$$ 6\leqq Q\leqq 24 $$

である。

次に、それぞれの値を与える点を求める。

最大値 $24$ は

$$ -3\cos2\theta+6\sqrt{2}\sin2\theta=9 $$

のときである。このとき、ベクトルの向きが係数ベクトルと一致するから、

$$ \cos2\theta=-\frac{1}{3},\quad \sin2\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3} $$

である。よって、

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2} =\frac{1-\frac{1}{3}}{2} =\frac{1}{3}, $$

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2} =\frac{1+\frac{1}{3}}{2} =\frac{2}{3}. $$

また $\sin2\theta>0$ であるから、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は同符号である。したがって、

$$ (\cos\theta,\sin\theta) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right), \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right). $$

よって、最大値を与える点は

$$ P=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\sqrt{6}\right), \left(-\frac{2}{\sqrt{3}},-\sqrt{6}\right) $$

である。

一方、最小値 $6$ は

$$ -3\cos2\theta+6\sqrt{2}\sin2\theta=-9 $$

のときである。このとき、

$$ \cos2\theta=\frac{1}{3},\quad \sin2\theta=-\frac{2\sqrt{2}}{3} $$

である。よって、

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\frac{1}{3}}{2} =\frac{2}{3}, $$

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\frac{1}{3}}{2} =\frac{1}{3}. $$

また $\sin2\theta<0$ であるから、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は異符号である。したがって、

$$ (\cos\theta,\sin\theta) = \left(\sqrt{\frac{2}{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right), \left(-\sqrt{\frac{2}{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right). $$

よって、最小値を与える点は

$$ P=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3},-\sqrt{3}\right), \left(-\frac{2\sqrt{6}}{3},\sqrt{3}\right) $$

である。

解説

だ円上の点を三角関数で表すと、制約条件が自動的に処理できる。与式は二次式であるが、$x=2\cos\theta,\ y=3\sin\theta$ とおくことで、$\sin2\theta,\ \cos2\theta$ の一次式になる。

最大値・最小値を出すだけなら振幅を見ればよいが、点 $P$ の座標も求める必要があるため、最大・最小を与えるときの $\cos2\theta,\ \sin2\theta$ まで求める必要がある。

答え

最大値は

$$ 24 $$

であり、これを与える点は

$$ P=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\sqrt{6}\right), \left(-\frac{2}{\sqrt{3}},-\sqrt{6}\right) $$

である。

最小値は

$$ 6 $$

であり、これを与える点は

$$ P=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3},-\sqrt{3}\right), \left(-\frac{2\sqrt{6}}{3},\sqrt{3}\right) $$

である。