数学C 楕円 問題 6 解説

方針・初手

頂点 $A$ を第 $1$ 象限内の点として

$$ A=(x,y)\quad (x>0,\ y>0) $$

とおく。辺 $AB$ が $x$ 軸に平行で、長方形の各頂点が楕円上にあるので、長方形の頂点は

$$ (x,y),\ (-x,y),\ (-x,-y),\ (x,-y) $$

と表せる。

したがって、$A=(x,y)$ は

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

を満たす。ここで

$$ x=a\cos\theta,\quad y=b\sin\theta\quad \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right) $$

とおいて処理する。

解法1

楕円

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

の半長軸は $a$、半短軸は $b$ であるから、楕円の面積は

$$ \pi ab $$

である。

次に、長方形の横の長さは $2x$、縦の長さは $2y$ である。よって面積 $S$ は

$$ S=4xy $$

である。$x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta$ とおくと、

$$ S=4ab\cos\theta\sin\theta =2ab\sin 2\theta $$

となる。

$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より、$\sin 2\theta$ の最大値は $1$ であり、そのとき

$$ 2\theta=\frac{\pi}{2} $$

すなわち

$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$

である。したがって

$$ S_{\max}=2ab $$

であり、そのとき

$$ x=a\cos\frac{\pi}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}},\quad y=b\sin\frac{\pi}{4}=\frac{b}{\sqrt{2}} $$

である。

次に、長方形の周の長さを $s$ とすると、

$$ s=2(2x+2y)=4(x+y) $$

である。よって $x+y$ の最大値を求めればよい。

$$ x+y=a\cos\theta+b\sin\theta $$

であるから、三角関数の合成により

$$ a\cos\theta+b\sin\theta \leq \sqrt{a^2+b^2} $$

である。等号が成り立つのは

$$ \cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad \sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

のときである。したがって

$$ s_{\max}=4\sqrt{a^2+b^2} $$

であり、そのとき

$$ x=a\cos\theta=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad y=b\sin\theta=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。

最後に、長方形を $y$ 軸のまわりに回転させると、半径 $x$、高さ $2y$ の円柱ができる。したがって体積 $V$ は

$$ V=\pi x^2\cdot 2y=2\pi x^2y $$

である。

$x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta$ を代入すると、

$$ V=2\pi a^2b\cos^2\theta\sin\theta $$

となる。

ここで

$$ t=\sin\theta\quad \left(0<t<1\right) $$

とおくと、$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-t^2$ より

$$ \cos^2\theta\sin\theta=(1-t^2)t=t-t^3 $$

である。

よって

$$ V=2\pi a^2b(t-t^3) $$

となる。$t-t^3$ を微分すると

$$ 1-3t^2 $$

であるから、最大となるのは

$$ 1-3t^2=0 $$

すなわち

$$ t=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

のときである。このとき

$$ \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \cos^2\theta=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

であるから、

$$ V_{\max} =2\pi a^2b\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{4\pi a^2b}{3\sqrt{3}} $$

である。

また、このとき

$$ x=a\cos\theta=a\sqrt{\frac{2}{3}},\quad y=b\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{3}} $$

である。

解説

この問題では、長方形の頂点を $A=(x,y)$ とおくことが最初の要点である。楕円が原点対称であり、辺 $AB$ が $x$ 軸に平行であるため、長方形は原点を中心とする形になり、横の長さが $2x$、縦の長さが $2y$ と表せる。

その後は、楕円上の点を

$$ x=a\cos\theta,\quad y=b\sin\theta $$

と媒介変数表示することで、面積・周長・体積の最大化が三角関数の最大値問題に帰着される。

特に、周長では $a\cos\theta+b\sin\theta$ の最大値を考える点、体積では $\cos^2\theta\sin\theta$ の最大値を考える点が重要である。

答え

(1)

$$ \text{[ア]}=\pi ab $$

(2)

$$ \text{[イ]}=2ab $$

$$ \text{[ウ]}=\frac{a}{\sqrt{2}},\quad \text{[エ]}=\frac{b}{\sqrt{2}} $$

(3)

$$ \text{[オ]}=4\sqrt{a^2+b^2} $$

$$ \text{[カ]}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad \text{[キ]}=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

(4)

$$ \text{[ク]}=\frac{4\pi a^2b}{3\sqrt{3}} $$

$$ \text{[ケ]}=a\sqrt{\frac{2}{3}},\quad \text{[コ]}=\frac{b}{\sqrt{3}} $$