数学C 楕円 問題 7 解説

方針・初手

楕円の焦点が $F(4,0),F'(-4,0)$ であり、長半径が $5$ であることを使う。楕円上の点 $P$ については焦点からの距離の和が一定である。

また、$OP=a$ より、$P(x,y)$ とおけば $x^2+y^2=a^2$ である。これを $PF^2+PF'^2$ の計算に使う。

解法1

$P(x,y)$ とおく。ただし $P$ は第1象限にあるから、$x>0,\ y>0$ である。

楕円

$$ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 $$

は長半径 $5$、短半径 $3$ の楕円であり、焦点は $F(4,0),F'(-4,0)$ である。

楕円の定義より、楕円上の任意の点 $P$ に対して

$$ PF+PF'=2\cdot 5=10 $$

である。したがって、(1) の答えは

$$ PF+PF'=10 $$

である。

次に、

$$ PF^2=(x-4)^2+y^2,\qquad PF'^2=(x+4)^2+y^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} PF^2+PF'^2 &=(x-4)^2+y^2+(x+4)^2+y^2\\ &=2x^2+2y^2+32\\ &=2(x^2+y^2)+32. \end{aligned} $$

ここで $OP=a$ より $x^2+y^2=a^2$ である。よって

$$ PF^2+PF'^2=2a^2+32 $$

である。

さらに、(1) より $PF+PF'=10$ だから、

$$ (PF+PF')^2=100 $$

である。一方、

$$ (PF+PF')^2=PF^2+PF'^2+2PF\cdot PF' $$

なので、

$$ 100=(2a^2+32)+2PF\cdot PF' $$

となる。したがって、

$$ PF\cdot PF'=34-a^2 $$

である。

次に、$\angle FPF'=\dfrac{\pi}{3}$ とする。三角形 $FPF'$ において、余弦定理を用いる。$FF'=8$ であり、$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ だから、

$$ FF'^2=PF^2+PF'^2-2PF\cdot PF'\cos\frac{\pi}{3} $$

より、

$$ 64=(2a^2+32)-PF\cdot PF' $$

である。ここに $PF\cdot PF'=34-a^2$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} 64&=2a^2+32-(34-a^2)\\ &=3a^2-2. \end{aligned} $$

よって、

$$ 3a^2=66 $$

であり、

$$ a^2=22 $$

となる。$a=OP>0$ だから、

$$ a=\sqrt{22} $$

である。

このとき、

$$ PF+PF'=10,\qquad PF\cdot PF'=34-22=12 $$

である。したがって、$PF,PF'$ は

$$ t^2-10t+12=0 $$

の2つの解である。

これを解くと、

$$ t=5\pm \sqrt{13} $$

である。$P$ は第1象限にあり、$F(4,0)$ の方が $F'(-4,0)$ より近いので、

$$ PF=5-\sqrt{13},\qquad PF'=5+\sqrt{13} $$

である。

座標を求めるために、距離の2乗の差を用いる。

$$ \begin{aligned} PF^2-PF'^2 &={(x-4)^2+y^2}-{(x+4)^2+y^2}\\ &=-16x. \end{aligned} $$

一方、

$$ \begin{aligned} PF^2-PF'^2 &=(5-\sqrt{13})^2-(5+\sqrt{13})^2\\ &=-20\sqrt{13}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ -16x=-20\sqrt{13} $$

より、

$$ x=\frac{5\sqrt{13}}{4} $$

である。

また $OP^2=a^2=22$ だから、

$$ x^2+y^2=22 $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} y^2 &=22-\left(\frac{5\sqrt{13}}{4}\right)^2\\ &=22-\frac{325}{16}\\ &=\frac{352-325}{16}\\ &=\frac{27}{16}. \end{aligned} $$

$P$ は第1象限にあるから $y>0$ であり、

$$ y=\frac{3\sqrt{3}}{4} $$

である。

したがって、

$$ P\left(\frac{5\sqrt{13}}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right) $$

である。

解説

この問題では、楕円の定義である「焦点からの距離の和が一定」をまず使うのが最も自然である。

(2) では、$PF^2+PF'^2$ を直接座標で計算すると、$x$ の一次の項が打ち消えて $x^2+y^2$ の形が現れる。ここで $OP=a$ という条件が効いてくる。

(3) では、三角形 $FPF'$ に余弦定理を用いる。$PF+PF'$、$PF^2+PF'^2$、$PF\cdot PF'$ がすでに $a$ で表されているため、角の条件から $a$ を決定できる。

答え

(1)

$$ PF+PF'=10 $$

(2)

$$ PF^2+PF'^2=2a^2+32 $$

$$ PF\cdot PF'=34-a^2 $$

(3)

$$ a=\sqrt{22} $$

$$ P\left(\frac{5\sqrt{13}}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right) $$