数学C 双曲線 問題 3 解説

方針・初手

漸近線が $y=2x,\ y=-2x$ であることから、双曲線の中心は原点であり、方程式は積の形

$$ (y-2x)(y+2x)=k $$

とおける。点 $(3,0)$ を通る条件で $k$ を決める。

解法1

漸近線が $y=2x,\ y=-2x$ である双曲線は

$$ (y-2x)(y+2x)=k $$

と表せる。左辺を整理すると

$$ y^2-4x^2=k $$

である。

この双曲線は点 $(3,0)$ を通るので、

$$ 0^2-4\cdot 3^2=k $$

より

$$ k=-36 $$

である。したがって

$$ y^2-4x^2=-36 $$

すなわち

$$ 4x^2-y^2=36 $$

である。標準形に直すと

$$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1 $$

となる。

よって

$$ a^2=9,\qquad b^2=36 $$

であり、焦点までの距離 $c$ は

$$ c^2=a^2+b^2=9+36=45 $$

だから

$$ c=3\sqrt{5} $$

である。したがって焦点の座標は

$$ (3\sqrt{5},0),\quad (-3\sqrt{5},0) $$

である。

次に、焦点を

$$ A(3\sqrt{5},0),\quad B(-3\sqrt{5},0) $$

とし、双曲線上の点を $P(x,y)$ とする。

直線 $AP$ と $BP$ が直交する条件は、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{BP}$ の内積が $0$ になることである。

$$ \overrightarrow{AP}=(x-3\sqrt{5},y),\qquad \overrightarrow{BP}=(x+3\sqrt{5},y) $$

より、

$$ \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0 $$

は

$$ (x-3\sqrt{5})(x+3\sqrt{5})+y^2=0 $$

である。これを整理すると

$$ x^2-45+y^2=0 $$

すなわち

$$ x^2+y^2=45 $$

となる。

したがって、求める点 $P$ は

$$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1 $$

と

$$ x^2+y^2=45 $$

の交点である。

円の式から

$$ y^2=45-x^2 $$

である。これを双曲線の式に代入すると、

$$ \frac{x^2}{9}-\frac{45-x^2}{36}=1 $$

となる。両辺に $36$ をかけて

$$ 4x^2-(45-x^2)=36 $$

より、

$$ 5x^2-45=36 $$

したがって

$$ 5x^2=81 $$

である。よって

$$ x^2=\frac{81}{5} $$

となる。

また、

$$ y^2=45-\frac{81}{5} =\frac{225-81}{5} =\frac{144}{5} $$

である。

したがって

$$ x=\pm \frac{9\sqrt{5}}{5},\qquad y=\pm \frac{12\sqrt{5}}{5} $$

である。

よって、条件を満たす点 $P$ は

$$ \left(\frac{9\sqrt{5}}{5},\frac{12\sqrt{5}}{5}\right),\quad \left(\frac{9\sqrt{5}}{5},-\frac{12\sqrt{5}}{5}\right),\quad \left(-\frac{9\sqrt{5}}{5},\frac{12\sqrt{5}}{5}\right),\quad \left(-\frac{9\sqrt{5}}{5},-\frac{12\sqrt{5}}{5}\right) $$

である。

解説

漸近線が $y=2x,\ y=-2x$ と与えられているので、まず双曲線を

$$ (y-2x)(y+2x)=k $$

とおくのが自然である。点 $(3,0)$ を通る条件により、双曲線の具体的な方程式がすぐに決まる。

また、$AP$ と $BP$ が直交する条件は、焦点を端点にもつ線分を見込む角が直角であることを意味する。ベクトルで処理すると、

$$ x^2+y^2=45 $$

という円の条件に変換される。この円と双曲線の交点を求めればよい。

答え

(1)

双曲線の方程式は

$$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1 $$

焦点の座標は

$$ (3\sqrt{5},0),\quad (-3\sqrt{5},0) $$

である。

(2)

求める点 $P$ の座標は

$$ \left(\frac{9\sqrt{5}}{5},\frac{12\sqrt{5}}{5}\right),\quad \left(\frac{9\sqrt{5}}{5},-\frac{12\sqrt{5}}{5}\right),\quad \left(-\frac{9\sqrt{5}}{5},\frac{12\sqrt{5}}{5}\right),\quad \left(-\frac{9\sqrt{5}}{5},-\frac{12\sqrt{5}}{5}\right) $$

である。