数学C 双曲線 問題 10 解説

方針・初手

双曲線

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

の右上の点 $P(p,q)$ を考える。まず $P$ が曲線上にある条件から $q$ を $p$ で表し、次に接線 $m$ と漸近線 $\ell$、および $x$ 軸との交点をそれぞれ求める。

解法1

双曲線

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

の漸近線は

$$ y=\pm \frac{b}{a}x $$

である。傾きが正のものが $\ell$ だから、

$$ \ell:\ y=\frac{b}{a}x $$

である。

次に、点 $P(p,q)$ は曲線 $C$ 上にあり、$p>0,\ q>0$ であるから、

$$ \frac{p^2}{a^2}-\frac{q^2}{b^2}=1 $$

が成り立つ。これより

$$ \frac{q^2}{b^2}=\frac{p^2-a^2}{a^2} $$

であり、$q>0$ だから

$$ q=\frac{b}{a}\sqrt{p^2-a^2} $$

である。したがって $p>a$ である。

双曲線

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

の点 $P(p,q)$ における接線は

$$ \frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1 $$

である。ここに

$$ q=\frac{b}{a}\sqrt{p^2-a^2} $$

を代入すると、

$$ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}y=1 $$

となる。よって、接線 $m$ の方程式は

$$ m:\ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}y=1 $$

である。

次に、$\ell$ と $m$ の交点を $Q$ とする。$\ell$ 上では

$$ y=\frac{b}{a}x $$

であるから、これを接線 $m$ に代入する。

$$ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}\cdot \frac{b}{a}x=1 $$

すなわち

$$ \frac{p-\sqrt{p^2-a^2}}{a^2}x=1 $$

である。よって

$$ x=\frac{a^2}{p-\sqrt{p^2-a^2}} $$

となる。分母を有理化すると、

$$ x=p+\sqrt{p^2-a^2} $$

である。したがって

$$ Q\left(p+\sqrt{p^2-a^2},\frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2}\right)\right) $$

である。

また、$R$ は接線 $m$ と $x$ 軸の交点である。$x$ 軸上では $y=0$ だから、

$$ \frac{px}{a^2}=1 $$

より

$$ x=\frac{a^2}{p} $$

である。したがって

$$ R\left(\frac{a^2}{p},0\right) $$

である。

三角形 $OQR$ は、$OR$ を底辺と見ると、底辺の長さは

$$ \frac{a^2}{p} $$

であり、高さは点 $Q$ の $y$ 座標

$$ \frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2}\right) $$

である。よって面積 $S(p)$ は

$$ \begin{aligned} S(p) &=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{p}\cdot \frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2}\right)\\ &=\frac{ab}{2}\cdot \frac{p+\sqrt{p^2-a^2}}{p}\\ &=\frac{ab}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\right). \end{aligned} $$

したがって、

$$ S(p)=\frac{ab}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\right) $$

である。

最後に極限を求める。$p\to\infty$ のとき

$$ \sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\to 1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{p\to\infty}S(p) &= \frac{ab}{2}(1+1)\\ &= ab \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、双曲線の接線の公式

$$ \frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1 $$

を使い、$P(p,q)$ が双曲線上にある条件から $q$ を消去することである。

また、$\ell$ と $m$ の交点 $Q$ を求める際に

$$ \frac{a^2}{p-\sqrt{p^2-a^2}}=p+\sqrt{p^2-a^2} $$

と変形できる点が計算を簡潔にする。三角形 $OQR$ は $R$ が $x$ 軸上にあるため、底辺を $OR$、高さを $Q$ の $y$ 座標として面積を求めればよい。

答え

(1)

$$ \ell:\ y=\frac{b}{a}x $$

(2)

$$ m:\ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}y=1 $$

(3)

$$ S(p)=\frac{ab}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\right) $$

ただし、$p>a$ である。

(4)

$$ \lim_{p\to\infty}S(p)=ab $$