数学C 双曲線 問題 11 解説

方針・初手

楕円 $C_1$ と双曲線 $C_2$ は焦点 $F,F'$ を共有している。したがって、交点 $P$ に対して楕円の定義から $FP+F'P$ が分かり、双曲線の定義から $F'P-FP$ が分かる。

まず $C_2$ の標準形を作り、その後、焦点からの距離の和と差を利用する。

解法1

楕円

$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 $$

の焦点は、長半径の2乗が $9$、短半径の2乗が $5$ であるから、

$$ c^2=9-5=4 $$

より、

$$ F=(2,0),\qquad F'=(-2,0) $$

である。

双曲線 $C_2$ は焦点が $F,F'$ であり、中心は原点、焦点は $x$ 軸上にある。したがって

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

とおける。

この双曲線の漸近線は

$$ y=\pm \frac{b}{a}x $$

であるから、条件 $y=\pm mx$ より

$$ \frac{b}{a}=m $$

すなわち

$$ b^2=m^2a^2 $$

である。

また、焦点距離について

$$ a^2+b^2=2^2=4 $$

が成り立つ。よって

$$ a^2+m^2a^2=4 $$

から

$$ a^2=\frac{4}{1+m^2},\qquad b^2=\frac{4m^2}{1+m^2} $$

である。したがって、$C_2$ の方程式は

$$ \frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}}-\frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}}=1 $$

である。

次に、$P$ は楕円 $C_1$ 上にあるから、楕円の定義より

$$ FP+F'P=6 $$

である。

また、$P$ は第1象限にあるので $x>0$ であり、双曲線 $C_2$ の右側の枝上にある。このとき $F'P>FP$ である。双曲線の定義より

$$ F'P-FP=2a $$

であり、ここで

$$ a=\sqrt{\frac{4}{1+m^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+m^2}} $$

だから、

$$ F'P-FP=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} FP+F'P&=6,\\ F'P-FP&=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}} \end{aligned} $$

を解くと、

$$ FP=3-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\qquad F'P=3+\frac{2}{\sqrt{1+m^2}} $$

となる。

最後に、$\angle F'PF=60^\circ$ とする。三角形 $F'PF$ において

$$ FF'=4 $$

である。余弦定理より

$$ FF'^2=FP^2+F'P^2-2\cdot FP\cdot F'P\cos 60^\circ $$

すなわち

$$ 16=FP^2+F'P^2-FP\cdot F'P $$

である。

ここで

$$ FP+F'P=6 $$

より、

$$ FP^2+F'P^2=(FP+F'P)^2-2FP\cdot F'P=36-2FP\cdot F'P $$

だから、

$$ 16=36-3FP\cdot F'P $$

となる。したがって

$$ FP\cdot F'P=\frac{20}{3} $$

である。

一方、

$$ \begin{aligned} FP\cdot F'P &=\left(3-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right)\left(3+\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right)\\ &=9-\frac{4}{1+m^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ 9-\frac{4}{1+m^2}=\frac{20}{3} $$

を得る。これを解くと、

$$ \frac{4}{1+m^2}=\frac{7}{3} $$

より

$$ 1+m^2=\frac{12}{7} $$

したがって

$$ m^2=\frac{5}{7} $$

である。$m$ は正の実数なので、

$$ m=\sqrt{\frac{5}{7}} $$

である。

解説

この問題では、交点 $P$ の座標を直接求める必要はない。焦点を共有していることを利用し、楕円では「焦点からの距離の和」、双曲線では「焦点からの距離の差」を使うのが最も自然である。

特に、$P$ が第1象限にあるため、双曲線 $C_2$ の右枝上にあり、$F'P>FP$ となる。この向きを取り違えると、距離の差の符号を誤る。

角度条件は三角形 $F'PF$ に対して余弦定理を使えばよい。$FP+F'P$ が一定であるため、式は $FP\cdot F'P$ だけに整理できる。

答え

(1)

$$ \frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}}-\frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}}=1 $$

(2)

$$ FP=3-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\qquad F'P=3+\frac{2}{\sqrt{1+m^2}} $$

(3)

$$ m=\sqrt{\frac{5}{7}} $$