数学C 双曲線 問題 12 解説

方針・初手

双曲線 $H:x^2-y^2=1$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線は

$$ x_0x-y_0y=1 $$

である。したがって、各接線の方程式を先に求め、指定された直線との交点を計算する。

また、$C(s,t)$ は $H$ 上の点であるから

$$ s^2-t^2=1 $$

であり、$t\ne 0$ より $s\ne 0,\ s\ne \pm 1$ である。

解法1

(1)

点 $A(-1,0)$ における接線は

$$ -x=1 $$

すなわち

$$ x=-1 $$

である。

直線 $BC$ は、媒介変数 $\lambda$ を用いて

$$ (x,y)=(1,0)+\lambda(s-1,t) $$

と表せる。すなわち

$$ x=1+\lambda(s-1),\qquad y=\lambda t $$

である。

これが接線 $x=-1$ と交わるとき、

$$ 1+\lambda(s-1)=-1 $$

より

$$ \lambda=-\frac{2}{s-1} $$

である。したがって

$$ y=\lambda t=-\frac{2t}{s-1}=\frac{2t}{1-s} $$

となる。よって

$$ P\left(-1,\frac{2t}{1-s}\right) $$

である。

(2)

点 $C(s,t)$ における接線は

$$ sx-ty=1 $$

である。

直線 $AB$ は $x$ 軸であるから

$$ y=0 $$

である。これを接線の方程式に代入すると

$$ sx=1 $$

より

$$ x=\frac{1}{s} $$

である。したがって

$$ Q\left(\frac{1}{s},0\right) $$

である。

(3)

点 $B(1,0)$ における接線は

$$ x=1 $$

である。

直線 $AC$ は、媒介変数 $\mu$ を用いて

$$ (x,y)=(-1,0)+\mu(s+1,t) $$

と表せる。すなわち

$$ x=-1+\mu(s+1),\qquad y=\mu t $$

である。

これが接線 $x=1$ と交わるとき、

$$ -1+\mu(s+1)=1 $$

より

$$ \mu=\frac{2}{s+1} $$

である。したがって

$$ R\left(1,\frac{2t}{s+1}\right) $$

である。

ここで、$P,Q,R$ が一直線上にあることを、傾きの一致で示す。

まず

$$ P\left(-1,\frac{2t}{1-s}\right),\qquad Q\left(\frac{1}{s},0\right) $$

より、直線 $PQ$ の傾きは

$$ \frac{0-\frac{2t}{1-s}}{\frac{1}{s}-(-1)} = \frac{-\frac{2t}{1-s}}{\frac{1+s}{s}} -\frac{2st}{(1-s)(1+s)} $$

である。$1-s^2=-(s^2-1)$ だから、

$$ -\frac{2st}{1-s^2} = \frac{2st}{s^2-1} $$

となる。さらに $s^2-t^2=1$ より $s^2-1=t^2$ であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{2st}{s^2-1} &= \frac{2st}{t^2}\\ &= \frac{2s}{t} \end{aligned} $$

である。

次に

$$ Q\left(\frac{1}{s},0\right),\qquad R\left(1,\frac{2t}{s+1}\right) $$

より、直線 $QR$ の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{\frac{2t}{s+1}-0}{1-\frac{1}{s}} &= \frac{\frac{2t}{s+1}}{\frac{s-1}{s}}\\ &= \frac{2st}{(s+1)(s-1)} \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{2st}{(s+1)(s-1)} &= \frac{2st}{s^2-1}\\ &= \frac{2s}{t} \end{aligned} $$

である。

したがって、直線 $PQ$ の傾きと直線 $QR$ の傾きは等しい。よって、$P,Q,R$ は一直線上にある。

解説

この問題では、双曲線 $x^2-y^2=1$ の接線公式

$$ x_0x-y_0y=1 $$

を使えるかが第一のポイントである。

$A,B$ における接線はそれぞれ縦線 $x=-1,\ x=1$ になるため、直線 $BC,AC$ を媒介変数で表すと交点が自然に求まる。

最後の一直線性は、$P,Q,R$ の座標を直接使い、傾きが一致することを示せばよい。その際、$C(s,t)$ が双曲線上にあることから得られる

$$ s^2-1=t^2 $$

を使うことで計算が簡潔になる。

答え

(1)

$$ P\left(-1,\frac{2t}{1-s}\right) $$

(2)

$$ Q\left(\frac{1}{s},0\right) $$

(3)

$$ R\left(1,\frac{2t}{s+1}\right) $$

であり、直線 $PQ$ と直線 $QR$ の傾きはいずれも

$$ \frac{2s}{t} $$

である。したがって、$P,Q,R$ は一直線上にある。