数学C 双曲線 問題 13 解説

方針・初手

交点 $P(x,y)$ における2曲線の接線の傾きをそれぞれ求め、積が $-1$ になることを示す。

焦点が一致する条件を数式化すると、接線の傾きの積を整理するために必要な関係式が得られる。

解法1

楕円

$$ C_1:\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1 $$

の焦点は、$\alpha>\beta>0$ として

$$ \left(\pm\sqrt{\alpha^2-\beta^2},0\right) $$

である。

また、双曲線

$$ C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

の焦点は

$$ \left(\pm\sqrt{a^2+b^2},0\right) $$

である。

焦点が一致しているから、

$$ \alpha^2-\beta^2=a^2+b^2 $$

である。したがって

$$ \alpha^2-a^2=\beta^2+b^2 $$

が成り立つ。

$P(x,y)$ を $C_1$ と $C_2$ の交点とする。このとき

$$ \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1,\qquad \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

である。

それぞれの式から $x^2$ を表すと、

$$ x^2=\alpha^2\left(1-\frac{y^2}{\beta^2}\right) $$

および

$$ x^2=a^2\left(1+\frac{y^2}{b^2}\right) $$

である。これらを等しいとおくと、

$$ \alpha^2-\frac{\alpha^2}{\beta^2}y^2 = a^2+\frac{a^2}{b^2}y^2 $$

より、

$$ \alpha^2-a^2 = y^2\left(\frac{\alpha^2}{\beta^2}+\frac{a^2}{b^2}\right) $$

となる。

焦点一致の条件より $\alpha^2-a^2=\beta^2+b^2$ であるから、

$$ \beta^2+b^2 = y^2\frac{\alpha^2b^2+a^2\beta^2}{\beta^2b^2} $$

である。

ここで $\alpha^2=a^2+\beta^2+b^2$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \alpha^2b^2+a^2\beta^2 &=(a^2+\beta^2+b^2)b^2+a^2\beta^2\\ &=a^2b^2+\beta^2b^2+b^4+a^2\beta^2\\ &=(\beta^2+b^2)(a^2+b^2) \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \beta^2+b^2 = y^2\frac{(\beta^2+b^2)(a^2+b^2)}{\beta^2b^2} $$

より、

$$ y^2=\frac{\beta^2b^2}{a^2+b^2} $$

を得る。

これを双曲線の式

$$ \frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2} $$

に代入すると、

$$ \begin{aligned} x^2 &=a^2\left(1+\frac{\beta^2}{a^2+b^2}\right)\\ &=a^2\frac{a^2+b^2+\beta^2}{a^2+b^2}\\ &=\frac{\alpha^2a^2}{a^2+b^2} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \frac{x^2}{y^2} = \frac{\alpha^2a^2}{\beta^2b^2} $$

が成り立つ。

次に接線の傾きを求める。

$C_1$ を微分すると、

$$ \frac{2x}{\alpha^2}+\frac{2y}{\beta^2}\frac{dy}{dx}=0 $$

であるから、$C_1$ の接線の傾き $m_1$ は

$$ m_1=-\frac{\beta^2x}{\alpha^2y} $$

である。

また、$C_2$ を微分すると、

$$ \frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 $$

であるから、$C_2$ の接線の傾き $m_2$ は

$$ m_2=\frac{b^2x}{a^2y} $$

である。

よって

$$ m_1m_2 = -\frac{\beta^2b^2x^2}{\alpha^2a^2y^2} $$

である。先ほど得た

$$ \frac{x^2}{y^2} = \frac{\alpha^2a^2}{\beta^2b^2} $$

を用いると、

$$ m_1m_2=-1 $$

となる。

2直線の傾きの積が $-1$ であるから、$P$ における $C_1$ と $C_2$ の接線は直交する。

$P$ は任意の交点であったので、すべての交点で接線は直交する。

解説

この問題の核心は、焦点が一致する条件を

$$ \alpha^2-\beta^2=a^2+b^2 $$

と正しく書くことである。

楕円と双曲線の交点そのものを完全に求める必要はないが、接線の傾きの積を調べるために

$$ \frac{x^2}{y^2} = \frac{\alpha^2a^2}{\beta^2b^2} $$

を導けばよい。

接線の傾きは陰関数微分で求めるのが最も素直である。最後に傾きの積が $-1$ になれば、2本の接線が直交することが従う。

答え

$C_1$ と $C_2$ の任意の交点において、それぞれの接線の傾きの積は $-1$ である。

したがって、$C_1$ と $C_2$ の交点でそれぞれの接線は直交する。