数学C 極方程式 問題 6 解説

方針・初手

曲線 $C_1$ 上の点 $P$ と極 $O$、点 $Q$ は同一直線上にある。しかも $Q$ は直線 $OP$ の点 $P$ 側の延長上にあり、$PQ=a$ であるから、極座標では偏角は変わらず、動径だけが $a$ 増える。このことから $C_2$ の極方程式を求める。

解法1

曲線 $C_1$ は

$$ r=a\cos\theta $$

で与えられている。点 $P$ の極座標を $(r,\theta)$ とすると、

$$ OP=r=a\cos\theta $$

である。

点 $Q$ は直線 $OP$ の点 $P$ 側の延長上にあり、$PQ=a$ であるから、$Q$ の偏角は $P$ と同じ $\theta$ であり、動径は

$$ OQ=OP+PQ=a\cos\theta+a=a(1+\cos\theta) $$

となる。

よって、点 $Q$ の軌跡 $C_2$ の極方程式は

$$ r=a(1+\cos\theta) \qquad \left(-\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) $$

である。

次に、$C_2$ 上の点 $Q$ を

$$ Q(r_0,\theta_0) $$

とする。直交座標では

$$ Q=(r_0\cos\theta_0,\ r_0\sin\theta_0) $$

である。

直線 $l$ は点 $Q$ を通り、直線 $OQ$ に垂直である。したがって、直線 $l$ の法線ベクトルは $OQ$ と平行であり、$(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ を法線ベクトルにとることができる。

よって、直線 $l$ 上の点を $(x,y)$ とすると、

$$ (x-r_0\cos\theta_0)\cos\theta_0 + (y-r_0\sin\theta_0)\sin\theta_0 =0 $$

である。整理すると、

$$ x\cos\theta_0+y\sin\theta_0 = r_0(\cos^2\theta_0+\sin^2\theta_0) $$

より、

$$ x\cos\theta_0+y\sin\theta_0=r_0 $$

となる。

ここで、$Q$ は $C_2$ 上の点であるから、

$$ r_0=a(1+\cos\theta_0) $$

である。したがって、直線 $l$ の方程式は

$$ x\cos\theta_0+y\sin\theta_0 = a(1+\cos\theta_0) $$

である。

最後に、この直線 $l$ が常に中心 $(a,0)$、半径 $a$ の円に接することを示す。

円の中心を $A(a,0)$ とする。直線 $l$ を

$$ x\cos\theta_0+y\sin\theta_0-a(1+\cos\theta_0)=0 $$

とおく。

点 $A(a,0)$ からこの直線までの距離は

$$ \frac{|a\cos\theta_0+0\cdot\sin\theta_0-a(1+\cos\theta_0)|} {\sqrt{\cos^2\theta_0+\sin^2\theta_0}} $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{|a\cos\theta_0-a-a\cos\theta_0|}{1} &= |-a|\\ &= a \end{aligned} $$

となる。

点 $(a,0)$ から直線 $l$ までの距離が、円の半径 $a$ に等しいので、直線 $l$ は点 $Q$ の位置によらず、常に中心 $(a,0)$、半径 $a$ の円に接する。

解説

この問題の要点は、極座標で「同じ半直線上を動く点」は偏角が変わらず、動径だけが変化することである。

(1) では、$Q$ が $P$ のさらに外側にあり $PQ=a$ であるため、単に

$$ OQ=OP+a $$

とできる。これにより、$r=a\cos\theta$ から $r=a(1+\cos\theta)$ が得られる。

(2) では、直線 $l$ が $OQ$ に垂直であることから、$OQ$ の方向ベクトルをそのまま法線ベクトルとして使うのが自然である。

(3) では、接線であることを示すには接点を求める必要はない。円の中心から直線までの距離が半径に等しいことを示せば十分である。

答え

(1)

$$ C_2:\ r=a(1+\cos\theta) \qquad \left(-\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) $$

(2)

$$ l:\ x\cos\theta_0+y\sin\theta_0=a(1+\cos\theta_0) $$

(3)

直線 $l$ と点 $(a,0)$ との距離は常に $a$ である。したがって、直線 $l$ は点 $Q$ に関係なく、常に中心 $(a,0)$、半径 $a$ の円に接する。