数学C 極方程式 問題 7 解説

方針・初手

極方程式 $r=a(1+\cos\theta)$ で表される曲線上の点は、原点からの距離が $a(1+\cos\theta)$ である。円 $S$ も原点を通る円であるから、直線 $OP$ 上での「原点からの符号付き距離」を比べると処理しやすい。

解法1

まず、円 $S$ を極方程式で表す。

円 $S$ は中心が $\left(\dfrac{a}{2},0\right)$、半径が $\dfrac{a}{2}$ であるから、直交座標で

$$ \left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

である。これを整理すると

$$ x^2+y^2=ax $$

となる。

極座標では $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ より $x^2+y^2=r^2$ であるから、

$$ r^2=ar\cos\theta $$

を得る。よって、原点を除いた部分では

$$ r=a\cos\theta $$

である。したがって、円 $S$ の極方程式は

$$ r=a\cos\theta $$

と表せる。

次に、$P$ を曲線 $C_a$ 上の点とする。$P\neq O$ であるから、$P$ の偏角を $\theta$ とすれば、$P$ の原点からの距離は

$$ OP=a(1+\cos\theta) $$

である。

一方、直線 $OP$ 上で円 $S$ と交わる点 $Q$ は、同じ偏角 $\theta$ に対して

$$ OQ=a\cos\theta $$

という符号付き距離で表される。

したがって、直線 $OP$ 上での $P,Q$ の符号付き距離の差は

$$ a(1+\cos\theta)-a\cos\theta=a $$

である。よって

$$ PQ=a $$

となり、これは $P$ の位置によらず一定である。

なお、$\cos\theta=0$ のときは直線 $OP$ が円 $S$ に原点で接する場合であり、このとき $Q=O$ とみなしても

$$ PQ=OP=a $$

となる。

最後に、極座標が $(2a,0)$ の点を $A$ とする。すなわち

$$ A=(2a,0) $$

である。

$P$ の極座標を

$$ \left(a(1+\cos\theta),\theta\right) $$

とおく。$c=\cos\theta$ とおくと、$-1\leqq c\leqq 1$ であり、

$$ P=\left(a(1+c)c,\ a(1+c)\sin\theta\right) $$

である。

距離 $AP$ の2乗を極座標の形で計算すると、

$$ \begin{aligned} AP^2 &=OP^2+OA^2-2\cdot OP\cdot OA\cos\theta \\ &={a(1+\cos\theta)}^2+(2a)^2-2\cdot a(1+\cos\theta)\cdot 2a\cos\theta \end{aligned} $$

である。$c=\cos\theta$ として整理すると、

$$ \begin{aligned} AP^2 &=a^2(1+c)^2+4a^2-4a^2c(1+c) \\ &=a^2{(1+2c+c^2)+4-4c-4c^2} \\ &=a^2(5-2c-3c^2) \end{aligned} $$

となる。

したがって、$AP$ の最大値を求めるには、$-1\leqq c\leqq 1$ における

$$ 5-2c-3c^2 $$

の最大値を求めればよい。

これは上に凸の2次関数であり、

$$ 5-2c-3c^2=-3\left(c+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{16}{3} $$

と平方完成できる。よって最大値は、$c=-\dfrac{1}{3}$ のとき

$$ \frac{16}{3} $$

である。

したがって

$$ AP^2_{\max}=a^2\cdot\frac{16}{3} $$

より、

$$ AP_{\max}=\frac{4a}{\sqrt{3}} $$

である。

解説

円 $S$ は原点を通る円なので、極方程式にすると $r=a\cos\theta$ となる。曲線 $C_a$ は $r=a(1+\cos\theta)$ であるから、同じ直線上で両者の符号付き距離を比べると差が常に $a$ になる。この見方が第2問の本質である。

第3問では、点 $A=(2a,0)$ と $P$ の距離を直接座標で処理してもよいが、極座標の余弦定理を使うと計算が短い。最終的には $\cos\theta$ だけの2次関数の最大値問題に帰着する。

答え

(1)

$$ r=a\cos\theta $$

(2)

$$ PQ=a $$

で一定である。

(3)

$$ \frac{4a}{\sqrt{3}} $$