数学C 極方程式 問題 8 解説

方針・初手

極方程式では $r\cos\theta=x,\ r\sin\theta=y,\ r=\sqrt{x^2+y^2}$ を用いて直交座標に直す。得られる曲線は楕円であるから、接線は楕円の方程式を微分して求める。面積は第1象限の上側の枝を $y$ の関数として表し、定積分で計算する。

解法1

(1)

極方程式

$$ r=\frac{3}{2+\sin\theta} $$

より、

$$ r(2+\sin\theta)=3 $$

である。ここで $r\sin\theta=y$ を用いると、

$$ 2r+y=3 $$

となる。さらに $r=\sqrt{x^2+y^2}$ より、

$$ 2\sqrt{x^2+y^2}+y=3 $$

である。

これを変形して

$$ 2\sqrt{x^2+y^2}=3-y $$

とし、両辺を平方すると、

$$ 4(x^2+y^2)=(3-y)^2 $$

である。整理して

$$ 4x^2+4y^2=9-6y+y^2 $$

より、

$$ 4x^2+3y^2+6y-9=0 $$

となる。平方完成すると、

$$ 4x^2+3(y+1)^2=12 $$

すなわち

$$ \frac{x^2}{3}+\frac{(y+1)^2}{4}=1 $$

である。

なお、この楕円では $-3\leqq y\leqq 1$ であるから $3-y>0$ であり、平方による余分な点は生じない。

したがって、曲線 $C$ は中心 $(0,-1)$、横方向の半径 $\sqrt3$、縦方向の半径 $2$ の楕円である。頂点は

$$ (0,1),\quad (0,-3),\quad (\sqrt3,-1),\quad (-\sqrt3,-1) $$

であり、$x$ 軸との交点は

$$ \left(\frac32,0\right),\quad \left(-\frac32,0\right) $$

である。

(2)

$x$ 軸の正の部分と曲線 $C$ が交わる点は、$y=0$ かつ $x>0$ の点である。楕円の方程式に $y=0$ を代入すると、

$$ \frac{x^2}{3}+\frac14=1 $$

より、

$$ \frac{x^2}{3}=\frac34 $$

である。したがって

$$ x=\frac32 $$

であり、

$$ P=\left(\frac32,0\right) $$

である。

楕円の方程式

$$ 4x^2+3(y+1)^2=12 $$

を $x$ で微分すると、

$$ 8x+6(y+1)\frac{dy}{dx}=0 $$

である。よって

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{3(y+1)} $$

となる。

点 $P\left(\frac32,0\right)$ における傾きは

$$ -\frac{4\cdot \frac32}{3(0+1)}=-2 $$

である。したがって接線の方程式は

$$ y=-2\left(x-\frac32\right) $$

すなわち

$$ y=-2x+3 $$

である。

(3)

第1象限の部分では楕円の上側の枝を用いる。楕円の方程式

$$ \frac{x^2}{3}+\frac{(y+1)^2}{4}=1 $$

より、

$$ (y+1)^2=4\left(1-\frac{x^2}{3}\right) $$

である。第1象限では $y\geqq 0$ であるから、

$$ y=-1+2\sqrt{1-\frac{x^2}{3}} $$

である。

第1象限で曲線 $C$ は $(0,1)$ から $\left(\frac32,0\right)$ までを通る。したがって求める面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_0^{3/2}\left(-1+2\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}\right),dx $$

である。

ここで

$$ x=\sqrt3\sin\phi $$

とおくと、

$$ dx=\sqrt3\cos\phi,d\phi $$

である。また、$x=0$ のとき $\phi=0$、$x=\frac32$ のとき

$$ \sin\phi=\frac{\sqrt3}{2} $$

より $\phi=\frac{\pi}{3}$ である。

よって

$$ \begin{aligned} S &=-\frac32+2\sqrt3\int_0^{\pi/3}\cos^2\phi,d\phi\\ &=-\frac32+2\sqrt3\left[\frac{\phi}{2}+\frac{\sin2\phi}{4}\right]_0^{\pi/3}\\ &=-\frac32+2\sqrt3\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\right)\\ &=-\frac32+\frac{\sqrt3\pi}{3}+\frac34\\ &=\frac{\sqrt3\pi}{3}-\frac34 \end{aligned} $$

となる。

解説

極方程式を直交座標に直すときは、$r\sin\theta=y$ だけでなく $r=\sqrt{x^2+y^2}$ を使う点が重要である。今回は

$$ 2r+y=3 $$

という形になり、そこから楕円の標準形に直せる。

平方して楕円を得る過程では、一般には余分な点が混入する可能性がある。しかし、得られた楕円では $y\leqq 1$ であるから $3-y>0$ となり、元の式 $2\sqrt{x^2+y^2}=3-y$ に戻れる。

面積では、楕円全体の面積を使うのではなく、第1象限で $x$ 軸・$y$ 軸・曲線に囲まれる部分だけを扱う。したがって、上側の枝

$$ y=-1+2\sqrt{1-\frac{x^2}{3}} $$

を $x=0$ から $x=\frac32$ まで積分するのが自然である。

答え

(1)

$$ \frac{x^2}{3}+\frac{(y+1)^2}{4}=1 $$

曲線 $C$ は中心 $(0,-1)$、横方向の半径 $\sqrt3$、縦方向の半径 $2$ の楕円である。

(2)

$$ P=\left(\frac32,0\right) $$

点 $P$ における接線の方程式は

$$ y=-2x+3 $$

である。

(3)

求める面積は

$$ \frac{\sqrt3\pi}{3}-\frac34 $$

である。