数学C 極方程式 問題 9 解説

方針・初手

極座標 $(r,\theta)$ の直交座標は

$$ (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) $$

である。点 $P$ については $r=3\cos\theta$ を直交座標に直す。また、$P,Q$ は同じ偏角 $\theta$ 上にあるので、距離 $PQ$ は半径方向の差の絶対値で扱える。

解法1

点 $P$ は極座標で

$$ r=3\cos\theta $$

と表される。直交座標では $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r^2=x^2+y^2$ であるから、

$$ r=3\cos\theta $$

の両辺に $r$ をかけると

$$ r^2=3r\cos\theta $$

となる。よって

$$ x^2+y^2=3x $$

である。平方完成すると

$$ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2 $$

である。

したがって、点 $P$ は中心が

$$ \left(\frac{3}{2},0\right) $$

で、半径が

$$ \frac{3}{2} $$

の円の周上を動く。

次に、点 $P,Q$ はそれぞれ

$$ P=(f(\theta),\theta),\qquad Q=(g(\theta),\theta) $$

であり、同じ方向角 $\theta$ 上にある。したがって、距離 $PQ$ は

$$ PQ=|f(\theta)-g(\theta)| $$

である。

ここで

$$ f(\theta)-g(\theta)=3\cos\theta-(1+\cos\theta)=2\cos\theta-1 $$

だから、

$$ PQ=|2\cos\theta-1| $$

となる。

最小値は

$$ 2\cos\theta-1=0 $$

のときにとる。よって

$$ \cos\theta=\frac{1}{2} $$

であり、$0\leqq\theta<2\pi$ より

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{5}{3}\pi $$

である。このとき最小値は

$$ 0 $$

である。

また、$\cos\theta$ は $-1\leqq\cos\theta\leqq1$ を動くので、

$$ 2\cos\theta-1 $$

は

$$ -3\leqq 2\cos\theta-1\leqq 1 $$

を動く。したがって

$$ |2\cos\theta-1| $$

の最大値は $3$ であり、これは

$$ 2\cos\theta-1=-3 $$

すなわち

$$ \cos\theta=-1 $$

のときに起こる。よって

$$ \theta=\pi $$

のとき、最大値は

$$ 3 $$

である。

最後に、線分 $PQ$ の中点が原点 $O$ である条件を考える。点 $P,Q$ は同じ偏角 $\theta$ をもつので、直交座標で

$$ P=f(\theta)(\cos\theta,\sin\theta),\qquad Q=g(\theta)(\cos\theta,\sin\theta) $$

と書ける。

中点が原点であるとは

$$ \frac{P+Q}{2}=O $$

であることだから、

$$ f(\theta)+g(\theta)=0 $$

が必要十分である。

よって

$$ 3\cos\theta+(1+\cos\theta)=0 $$

より

$$ 4\cos\theta+1=0 $$

である。したがって

$$ \cos\theta=-\frac{1}{4} $$

となる。

このとき点 $P$ の直交座標は

$$ x=f(\theta)\cos\theta=3\cos^2\theta $$

であるから、

$$ x=3\left(-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{3}{16} $$

である。

また、

$$ \sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16} $$

より

$$ \sin\theta=\pm\frac{\sqrt{15}}{4} $$

である。したがって

$$ y=f(\theta)\sin\theta=3\cos\theta\sin\theta $$

より

$$ y=3\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\pm\frac{\sqrt{15}}{4}\right) =\pm\frac{3\sqrt{15}}{16} $$

となる。符号は $\sin\theta$ の符号に応じて反対になるが、結局取りうる値は

$$ \pm\frac{3\sqrt{15}}{16} $$

である。

よって点 $P$ の直交座標は

$$ \left(\frac{3}{16},\ \pm\frac{3\sqrt{15}}{16}\right) $$

である。

解説

極方程式 $r=3\cos\theta$ は、両辺に $r$ をかけて $r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x$ を用いるのが標準的である。これにより円の方程式へ変換できる。

距離 $PQ$ については、$P,Q$ が同じ偏角 $\theta$ をもつ点であることが重要である。直交座標で考えると、どちらも同じ単位方向ベクトル $(\cos\theta,\sin\theta)$ の定数倍であるため、距離は単に $|f(\theta)-g(\theta)|$ となる。

中点が原点になる条件では、$P$ と $Q$ が原点に関して反対側にある必要がある。同じ偏角で表されているため、これは半径成分の和が $0$、すなわち $f(\theta)+g(\theta)=0$ として処理できる。

答え

(1)

$$ \left(\frac{3}{2},0\right),\qquad \frac{3}{2} $$

したがって、

$$ \text{ア}=3,\quad \text{イ}=2,\quad \text{ウ}=0,\quad \text{エ}=3,\quad \text{オ}=2 $$

(2)

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{5}{3}\pi $$

のとき最小値

$$ 0 $$

をとり、

$$ \theta=\pi $$

のとき最大値

$$ 3 $$

をとる。

したがって、

$$ \text{カ}=3,\quad \text{キ}=5,\quad \text{ク}=3,\quad \text{ケ}=0,\quad \text{コ}=\pi,\quad \text{サ}=3 $$

(3)

$$ \left(\frac{3}{16},\ \pm\frac{3\sqrt{15}}{16}\right) $$

したがって、

$$ \text{シ}=3,\quad \text{ス}=1,\quad \text{セ}=6,\quad \text{ソ}=3,\quad \text{タ}=1,\quad \text{チ}=5,\quad \text{ツ}=1,\quad \text{テ}=6 $$