北海道大学 1962年 文系 第1問 解説

方針・初手

(1) は、直線 $AB$ と直線 $l$ の交点を $P$ とし、方べきの定理 $PA \cdot PB = PT^2$ を用いて直線 $l$ 上の接点 $T$ を見つける。

(2) は、円の中心 $O$ に関する点 $C$ の対称点 $C'$ をとり、図形の対称性から条件 $PC=QD$ を点 $Q$ のみに関する条件に言い換える。

解法1

(1)

直線 $AB$ と直線 $l$ が平行でない場合を考える。直線 $AB$ と直線 $l$ の交点を $P$ とする。求める円と直線 $l$ の接点を $T$ とすると、方べきの定理より以下の等式が成り立つ。

$$ PA \cdot PB = PT^2 $$

次に、点 $A, B$ を通る任意の円（例えば線分 $AB$ を直径とする円）を作図し、これを円 $C_1$ とする。点 $P$ から円 $C_1$ に接線を引き、その接点を $K$ とすると、方べきの定理より以下の等式が成り立つ。

$$ PA \cdot PB = PK^2 $$

これらから $PT = PK$ となるため、点 $P$ を中心とし半径 $PK$ の円を描き、直線 $l$ との交点を $T$ とする。この点 $T$ が求める円と直線 $l$ の接点となる。

最後に、3点 $A, B, T$ を通る円を作図する（線分 $AB$ と線分 $AT$ の垂直二等分線の交点を中心として円を描く）。直線 $l$ 上の交点 $T$ は一般に2つ存在し、それぞれが条件を満たす円に対応する。なお、直線 $AB$ と直線 $l$ が平行な場合は、線分 $AB$ の垂直二等分線と直線 $l$ の交点を接点 $T$ とすればよい。

(2)

円の中心 $O$ は直径 $PQ$ の中点である。直線 $CO$ 上に、点 $O$ を挟んで点 $C$ と反対側に $OC = OC'$ となる点 $C'$ をとる。

$\triangle OPC$ と $\triangle OQC'$ において、円の半径より $OP = OQ$、作図より $OC = OC'$ であり、対頂角は等しいから $\angle POC = \angle QOC'$ となる。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、以下の合同が成り立つ。

$$ \triangle OPC \equiv \triangle OQC' $$

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので $PC = QC'$ である。これと問題で要求されている条件 $PC = QD$ より、以下の等式が得られる。

$$ QC' = QD $$

これは、点 $Q$ が2点 $C', D$ から等距離にあることを意味する。したがって、点 $Q$ は線分 $C'D$ の垂直二等分線上にある。

また、点 $Q$ は円 $O$ の周上の点でもある。よって、線分 $C'D$ の垂直二等分線を作図し、円 $O$ との交点を $Q$ とすればよい。最後に、直線 $QO$ を引いて円 $O$ とのもう一つの交点を $P$ とすることで、条件を満たす直径 $PQ$ が得られる。（交点 $Q$ は最大2つ存在し、それぞれが解となる。）

解説

(1) は「アポロニウスの問題」（点・点・線のケース）として知られる有名な作図問題である。未知の接点までの距離を、方べきの定理を経由して作図可能な線分の長さにすり替える手法がポイントである。

(2) は点対称を利用した図形の考察が鍵となる。「円の直径」と「中心に対する対称性」の性質を結びつけ、条件 $PC=QD$ を点 $Q$ のみに関する条件 $QC'=QD$ へと転換することで、垂直二等分線を利用した標準的な作図に帰着できる。

答え

作図手順を明らかにして示された条件を満たす図形を構成した。（解答は作図過程の記述により完結する。）