北海道大学 1994年 文系 第2問 解説

方針・初手

内接円の中心（内心）と各頂点を結ぶ線分が内角を二等分すること、内心から各辺に下ろした垂線の長さが内接円の半径であることを利用する。(1) は直角三角形の辺の比から導く。(2) は外接円の半径を求めるため正弦定理を利用し、得られた式を三角関数の公式を用いて変形する。(3) は (2) の結果と内心から各頂点までの距離の式を比較する。

解法1

(1) 三角形 $ABC$ の内接円の中心を $O$ とし、$O$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

内心の性質より、直線 $OB, OC$ はそれぞれ $\angle B, \angle C$ の二等分線であるから、

$$ \angle OBH = \frac{\beta}{2}, \quad \angle OCH = \frac{\gamma}{2} $$

となる。直角三角形 $OBH, OCH$ において、$OH = 1$ であるから、

$$ BH = \frac{1}{\tan \frac{\beta}{2}}, \quad CH = \frac{1}{\tan \frac{\gamma}{2}} $$

となる。したがって、辺 $BC$ の長さは、

$$ BC = BH + CH = \frac{1}{\tan \frac{\beta}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{\gamma}{2}} $$

となる。

(2) 三角形の内角の和は $\pi$ であるから、$\angle A = \pi - (\beta + \gamma)$ である。

三角形 $ABC$ の外接円の半径が $r$ であるから、正弦定理より、

$$ \frac{BC}{\sin A} = 2r $$

が成り立つ。ここで、$\sin A = \sin (\pi - (\beta + \gamma)) = \sin (\beta + \gamma)$ であるから、(1) の結果を代入して、

$$ 2r = \frac{\frac{1}{\tan \frac{\beta}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{\gamma}{2}}}{\sin (\beta + \gamma)} $$

となる。分子を通分し、加法定理と倍角の公式 $\sin(\beta + \gamma) = 2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}$ を用いて整理する。

$$ \begin{aligned} 2r &= \frac{\frac{\cos \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} + \frac{\cos \frac{\gamma}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}}}{\sin (\beta + \gamma)} \\ &= \frac{\frac{\sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}}}{\sin (\beta + \gamma)} \\ &= \frac{\sin \frac{\beta + \gamma}{2}}{\sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \cdot 2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}} \\ &= \frac{1}{2 \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}} \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ r = \frac{1}{4 \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}} $$

となる。

(3) (1) と同様に、$O$ から辺 $AB, AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $I, J$ とすると、$OI = OJ = 1$ である。

直角三角形 $OBI, OCJ$ において、

$$ OB = \frac{1}{\sin \frac{\beta}{2}}, \quad OC = \frac{1}{\sin \frac{\gamma}{2}} $$

である。

また、直線 $OA$ は $\angle A$ の二等分線であるから、直角三角形 $OAI$ において、

$$ OA = \frac{1}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{1}{\sin \frac{\pi - (\beta + \gamma)}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{\beta + \gamma}{2}} $$

である。

したがって、(2) で求めた $r$ の式は次のように変形できる。

$$ r = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos \frac{\beta + \gamma}{2}} \cdot \frac{1}{\sin \frac{\beta}{2}} \cdot \frac{1}{\sin \frac{\gamma}{2}} = \frac{1}{4} OA \cdot OB \cdot OC $$

解説

内心と外心の性質、および三角関数の公式を組み合わせる図形と計量の典型問題である。

(1) では、内心から各辺に下ろした垂線が内接円の半径となることを利用して、辺の長さを分割して求める手法が基本となる。

(2) では正弦定理を用い、式を積の形に整理する過程で三角関数の加法定理による合成が必要になる。外接円の中心が三角形の内部にあるという条件は、三角形が鋭角三角形であり、各内角が正の値をもつ範囲で正弦定理を適用できることを保証している。

(3) は (2) の結果の式に現れる各項が、それぞれ内心から頂点までの距離の式と一致することに気づければ容易に示せる。これは一般に $r = \frac{OA \cdot OB \cdot OC}{4 \rho^2}$ （$\rho$ は内接円の半径。本問では $\rho = 1$）が成り立つことを示している。

答え

(1)

$$ BC = \frac{1}{\tan \frac{\beta}{2}} + \frac{1}{\tan \frac{\gamma}{2}} \quad \left( または \frac{\sin \frac{\beta + \gamma}{2}}{\sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}} \right) $$

(2)

$$ r = \frac{1}{4 \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}} $$

(3)

$$ r = \frac{1}{4} OA \cdot OB \cdot OC $$