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九州大学 1962年文系第3問解説

方針・初手

(1) 平行四辺形であることを示すためには、「2組の対辺がそれぞれ平行である」ことを導くのが基本である。仮定の $PQ \parallel AD$ および $RS \parallel AD$ からただちに $PQ \parallel RS$ が分かるため、残りの $PS \parallel QR$、すなわち $PS \parallel BC$ を示せばよい。各三角形において「平行線と線分の比」の関係を順に適用し、比の等式をつないでいく。

(2) 与えられた4つの三角形の面積を用いて、対角線 $AC, BD$ の交点 $P$ における線分の比 $AP:PC$ や $BP:PD$ を求める。そこから相似比を用いて $\triangle PQR$ の面積を求め、最後に平行四辺形の性質を用いて四辺形 $PQRS$ の面積を求める。

解法1

(1)

仮定より、$PQ \parallel AD$ であり、$\triangle ABD$ において平行線と線分の比の関係から、

$$BQ : AB = BP : BD$$

すなわち、

$$\frac{BQ}{AB} = \frac{BP}{BD} \quad \cdots ①$$

また、$QR \parallel BC$ であり、$\triangle ABC$ において同様に、

$$AQ : AB = AR : AC$$

ここで、$AQ = AB - BQ$ および $AR = AC - CR$ であるから、

$$\frac{AB - BQ}{AB} = \frac{AC - CR}{AC}$$

$$1 - \frac{BQ}{AB} = 1 - \frac{CR}{AC}$$

したがって、

$$\frac{BQ}{AB} = \frac{CR}{AC} \quad \cdots ②$$

①、②より、

$$\frac{BP}{BD} = \frac{CR}{AC} \quad \cdots ③$$

次に、$RS \parallel AD$ であり、$\triangle ACD$ において、

$$CR : AC = CS : CD$$

すなわち、

$$\frac{CR}{AC} = \frac{CS}{CD} \quad \cdots ④$$

③、④より、

$$\frac{BP}{BD} = \frac{CS}{CD}$$

ここで、$BP = BD - DP$ および $CS = CD - DS$ であるから、

$$\frac{BD - DP}{BD} = \frac{CD - DS}{CD}$$

$$1 - \frac{DP}{BD} = 1 - \frac{DS}{CD}$$

したがって、

$$\frac{DP}{BD} = \frac{DS}{CD}$$

これより $DP : BD = DS : CD$ となるので、$\triangle BCD$ において辺の比が等しいことから、

$$PS \parallel BC$$

仮定より $QR \parallel BC$ であるため、

$$PS \parallel QR$$

さらに、仮定の $PQ \parallel AD$ および $RS \parallel AD$ より、

$$PQ \parallel RS$$

以上より、2組の対辺がそれぞれ平行であるから、四辺形 $PQRS$ は平行四辺形である。（証明終）

(2)

対角線の交点 $P$ で分割された4つの三角形の面積について、条件より $\triangle PAB = 15$, $\triangle PBC = 60$, $\triangle PDA = 10$ である。

$\triangle PAB$ と $\triangle PBC$ は、底辺をそれぞれ $AP, PC$ とみると高さが共通であるから、

$$AP : PC = \triangle PAB : \triangle PBC = 15 : 60 = 1 : 4$$

同様に、$\triangle PAB$ と $\triangle PDA$ は、底辺をそれぞれ $BP, PD$ とみると高さが共通であるから、

$$BP : PD = \triangle PAB : \triangle PDA = 15 : 10 = 3 : 2$$

$\triangle ABD$ において、$PQ \parallel AD$ であるから、

$$BQ : QA = BP : PD = 3 : 2$$

したがって、

$$\frac{AQ}{AB} = \frac{2}{3 + 2} = \frac{2}{5}$$

次に、四辺形 $PQRS$ の面積を求める。 $QR \parallel BC$ より、$\triangle ABC$ において、

$$AR : AC = AQ : AB = 2 : 5$$

よって、

$$AR = \frac{2}{5} AC$$

また、$AP : PC = 1 : 4$ より $AP = \frac{1}{5} AC$ である。点 $P, R$ はともに線分 $AC$ 上にあり、$AP < AR$ であるから、

$$PR = AR - AP = \frac{2}{5} AC - \frac{1}{5} AC = \frac{1}{5} AC$$

$\triangle PQR$ と $\triangle AQR$ は、底辺をそれぞれ $PR, AR$ とみると高さが共通であるから、

$$\triangle PQR : \triangle AQR = PR : AR = \frac{1}{5} AC : \frac{2}{5} AC = 1 : 2$$

よって、

$$\triangle PQR = \frac{1}{2} \triangle AQR$$

また、$QR \parallel BC$ より $\triangle AQR \sim \triangle ABC$ であり、相似比は $AQ : AB = 2 : 5$ であるから、面積比は $4 : 25$ となる。

$$\triangle AQR = \frac{4}{25} \triangle ABC$$

ここで、$\triangle ABC = \triangle PAB + \triangle PBC = 15 + 60 = 75$ であるから、

$$\triangle AQR = \frac{4}{25} \times 75 = 12$$

よって、

$$\triangle PQR = \frac{1}{2} \times 12 = 6$$

(1) より四辺形 $PQRS$ は平行四辺形であるから、対角線 $PR$ によって面積は2等分される。したがって、四辺形 $PQRS$ の面積は、

$$2 \times \triangle PQR = 2 \times 6 = 12$$

解説

平面図形における「平行線と線分の比」と「三角形の面積比」を組み合わせた典型問題である。 (1) では、$\triangle ABD$, $\triangle ABC$, $\triangle ACD$ と順に三角形を辿ることで、線分の比の等式をリレーのようにつないでいく発想が重要である。 (2) では、交差する対角線によって分割された三角形の面積比から線分比を逆算し、平行線の性質と組み合わせて目的の図形の面積を求める。四辺形 $PQRS$ が平行四辺形であることを利用し、対角線で分けた $\triangle PQR$ の面積を求めてから2倍するという方針をとると、計算量を抑えることができる。