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北海道大学 1972年文系第3問解説

方針・初手

(1) は、正の数についての和の条件が与えられており、積の最大値を求める問題であるため、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが簡明である。(2) は、(1) で得られた式と対数を含む条件式を連立させ、1変数の関数の最大・最小問題に帰着させる。

解法1

(1)

$a > 0, b > 0$ であり、$x > 0, y > 0$ より $ax > 0, by > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係より、以下の不等式が成り立つ。

$$ ax + by \geqq 2\sqrt{ax \cdot by} = 2\sqrt{abxy} $$

条件より $ax + by \leqq 1$ であるから、

$$ 1 \geqq 2\sqrt{abxy} $$

両辺は正であるから、両辺を2乗して整理すると、

$$ \frac{1}{4} \geqq abxy $$

$a > 0, b > 0$ であるから、両辺を $ab$ で割ると、

$$ xy \leqq \frac{1}{4ab} $$

等号が成立するのは、$ax = by$ かつ $ax + by = 1$ のときである。すなわち、$ax = \frac{1}{2}$ かつ $by = \frac{1}{2}$ より、

$$ x = \frac{1}{2a}, \quad y = \frac{1}{2b} $$

のときである。$a > 0, b > 0$ よりこれらの $x, y$ は正の数であり、条件を満たす。したがって、積 $xy$ の最大値 $M$ は、

$$ M = \frac{1}{4ab} $$

(2)

条件式より、

$$ (\log_{10} a)^2 + 2\log_{10} b = 1 $$

が成り立つ。$A = \log_{10} a$, $B = \log_{10} b$ とおくと、$A, B$ は実数であり、

$$ A^2 + 2B = 1 $$

となる。これを $B$ について解くと、

$$ B = \frac{1 - A^2}{2} $$

となる。(1) より $M = \frac{1}{4ab}$ であるから、常用対数をとると、

$$ \begin{aligned} \log_{10} M &= \log_{10} \frac{1}{4ab} \\ &= -\log_{10} 4 - \log_{10} a - \log_{10} b \\ &= -\log_{10} 4 - A - B \end{aligned} $$

これに $B = \frac{1 - A^2}{2}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \log_{10} M &= -\log_{10} 4 - A - \frac{1 - A^2}{2} \\ &= \frac{1}{2}A^2 - A - \frac{1}{2} - \log_{10} 4 \\ &= \frac{1}{2}(A - 1)^2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \log_{10} 4 \\ &= \frac{1}{2}(A - 1)^2 - 1 - \log_{10} 4 \\ &= \frac{1}{2}(A - 1)^2 - \log_{10} 10 - \log_{10} 4 \\ &= \frac{1}{2}(A - 1)^2 - \log_{10} 40 \end{aligned} $$

$a > 0$ であるから、$A = \log_{10} a$ は実数全体をとりうる。したがって、$\log_{10} M$ は $A = 1$ のとき最小値 $-\log_{10} 40$ をとる。

$$ -\log_{10} 40 = \log_{10} \frac{1}{40} $$

であるから、$M$ の最小値は $\frac{1}{40}$ である。このとき、$A = 1$ より $\log_{10} a = 1$ すなわち $a = 10$ であり、$B = \frac{1 - 1^2}{2} = 0$ より $\log_{10} b = 0$ すなわち $b = 1$ である。これらは $a > 0, b > 0$ を満たす。

解法2

(1) は解法1と同じ。

(2)

(1) より $M = \frac{1}{4ab}$ である。$a > 0, b > 0$ であるから、$M$ が最小となるのは積 $ab$ が最大となるときである。条件式より、

$$ 2\log_{10} b = 1 - (\log_{10} a)^2 $$

であるから、

$$ \log_{10} b^2 = 1 - (\log_{10} a)^2 $$

両辺の $10$ を底とする指数をとると、

$$ b^2 = 10^{1 - (\log_{10} a)^2} $$

$b > 0$ であるから、

$$ b = 10^{\frac{1}{2} \{1 - (\log_{10} a)^2\}} $$

したがって、$ab$ は、

$$ \begin{aligned} ab &= 10^{\log_{10} a} \cdot 10^{\frac{1}{2} \{1 - (\log_{10} a)^2\}} \\ &= 10^{\log_{10} a + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (\log_{10} a)^2} \\ &= 10^{-\frac{1}{2} (\log_{10} a - 1)^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \\ &= 10^{-\frac{1}{2} (\log_{10} a - 1)^2 + 1} \end{aligned} $$

$a > 0$ であるから、$\log_{10} a$ は実数全体をとりうる。よって、指数の部分 $-\frac{1}{2} (\log_{10} a - 1)^2 + 1$ は $\log_{10} a = 1$ のとき最大値 $1$ をとる。底の $10$ は $1$ より大きいから、$ab$ もこのとき最大値 $10^1 = 10$ をとる。したがって、$M = \frac{1}{4ab}$ の最小値は、

$$ \frac{1}{4 \cdot 10} = \frac{1}{40} $$

解説

(1) は和の条件から積の最大値を求めるため、相加平均と相乗平均の大小関係を利用するのが定石である。ここで、等号成立条件を満たす変数 $x, y$ が与えられた条件 $x > 0, y > 0$ の範囲に存在することを必ず確認する必要がある。 (2) は (1) の結果を利用して、2変数 $a, b$ の条件付き最大・最小問題に帰着させる。解法1のように対数のまま式変形して $\log_{10} M$ の最小値を考える方法と、解法2のように $ab$ の最大値を求めるために関数を一つにまとめる方法のいずれでもよい。対数の扱いと平方完成の基本が問われている。