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北海道大学 1972年文系第4問解説

方針・初手

複素数 $z$ とその共役複素数 $\overline{z}$ を、実部 $x$ と虚部 $y$ を用いて表す基本的な変換がテーマである。 (1) では $z = x+yi, \overline{z} = x-yi$ の連立方程式から $x, y$ を $z, \overline{z}$ で表し、与えられた直線の方程式に代入する。 (2) では $(z+\overline{c})$ と $(\overline{z}+c)$ が互いに共役であることに着目して絶対値の式にするか、成分を直接代入して式を整理することで図形の形を明らかにする。

解法1

(1)

$z = x+yi$, $\overline{z} = x-yi$ であるから、辺々を足し引きすることで $x, y$ は以下のように表せる。

$$ x = \frac{z+\overline{z}}{2} $$

$$ y = \frac{z-\overline{z}}{2i} = -\frac{i(z-\overline{z})}{2} $$

これらを条件式 $lx+my=n$ に代入する。

$$ l \left( \frac{z+\overline{z}}{2} \right) - mi \left( \frac{z-\overline{z}}{2} \right) = n $$

両辺を $2$ 倍して展開・整理する。

$$ l(z+\overline{z}) - mi(z-\overline{z}) = 2n $$

$$ (l-mi)z + (l+mi)\overline{z} = 2n $$

これが求める関係式である。

(2)

与えられた方程式は以下の通りである。

$$ (z+\overline{c})(\overline{z}+c)=r $$

共役複素数の性質より $\overline{z+c} = \overline{z}+\overline{c}$ であり、$c$ の共役複素数の共役複素数は元に戻る（$\overline{\overline{c}} = c$）ため、$\overline{z+\overline{c}} = \overline{z}+c$ が成り立つ。したがって、与式は次のように変形できる。

$$ (z+\overline{c})\overline{(z+\overline{c})} = r $$

複素数 $w$ について $w\overline{w} = |w|^2$ であるから、

$$ |z+\overline{c}|^2 = r $$

ここで、$z = x+yi$、$c = a+bi$ であるため、$\overline{c} = a-bi$ となる。これを代入する。

$$ |(x+yi) + (a-bi)|^2 = r $$

$$ |(x+a) + (y-b)i|^2 = r $$

絶対値の定義より、実部と虚部の2乗の和となる。

$$ (x+a)^2 + (y-b)^2 = r $$

$r$ は正の定数であるから、これは $xy$ 平面上の円を表す。これを図示すると、$xy$ 平面において点 $(-a, b)$ を中心とし、半径が $\sqrt{r}$ の円となる。（図は省略）

解法2

(2) のみ別解

方程式に $z = x+yi$ と $c = a+bi, \overline{c} = a-bi$ を直接代入して計算することもできる。

与式は以下の通り。

$$ (z+\overline{c})(\overline{z}+c)=r $$

代入して整理する。

$$ \{ (x+yi) + (a-bi) \} \{ (x-yi) + (a+bi) \} = r $$

$$ \{ (x+a) + (y-b)i \} \{ (x+a) - (y-b)i \} = r $$

左辺は $(A+Bi)(A-Bi) = A^2+B^2$ の形をしているため、次のように展開できる。

$$ (x+a)^2 + (y-b)^2 = r $$

$r>0$ より、これは点 $(-a, b)$ を中心とする半径 $\sqrt{r}$ の円を表す。図示すると、$xy$ 平面上に中心 $(-a, b)$、半径 $\sqrt{r}$ の円が描かれる。（図は省略）

解説

複素数平面における図形の方程式の基本問題である。 (1) の結果 $(l-mi)z + (l+mi)\overline{z} = 2n$ は、複素数平面における直線の方程式の一般形である。 (2) は、複素数平面上の円の方程式 $|z-\alpha|^2 = r^2$ が $xy$ 平面上の円の方程式 $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$ と対応していることを確認する問題である。解法1のように共役複素数の性質 $(z+\overline{c})\overline{(z+\overline{c})} = |z+\overline{c}|^2$ を見抜けると、計算ミスを減らしつつ見通しよく解くことができる。直接代入する解法2も、本問のように式が単純であれば有効かつ確実である。